Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в рассматриваемом случае изучаемое колебание в первом приближении будет гармоническим. Нелинейный характер уравнения (2.1) в первом приближении сказывается, очевидно, лишь в том, что частота колебаний cuj (а) зависит от амплитуды. Иначе говоря, из-за присутствия в уравнении (2.1) нелинейного члена еФ (ж) колебательная система теряет свою изохронность (изохронностью называется свойство линейных колебательных систем, состояшее в том, что их частота собственных колебаний не зависит от величины амплитуды), причем, как это следует из выражения для ts>i(a) (2.6), потеря изохронности будет тем меньше, чем меньше будет зФ (х) по сравнению с ш2ж.
Перейдем теперь к построению второго приближения. По формуле (1.18) находим:
ОО
/ 1 \ ^ (®) лу /су rj\
(a> Ф) = 2j —я * (2,7'
n~Q
пф\
Подставив найденные выражения (2.5) и (2.7) в (1.30), получим-Л2(а)--0,
[W+
2, } (2.8)
+ \ф>со8ф)со8фсо8гсф^. |
п=0 О I
пф 1 J
Поскольку
2тс
со 5 ф(а 008 ФИФ-0 2п
Сп(а) = — ^ Ф (a cos ф) cos/гф (// > 1),
'о
12] КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ЛИНЕЙНЫМ М"
то, дифференцируя, найдем:
2те
2тс
2тс
1 ^ Ф' (a cos ф) cos ф с?ф = '
^ ^ Ф' (a cos ф) cos ф cos ?гф е?ф = —
о
но, можем.напи
и, следовательно, можем .написать:
Таким образом, во втором приближении имеем:
ОО
х,, = a cos ф - ^ 1 ^ Сп „.-Т ’ (2Л0)
причем
(2.11)'
где со
II
/ \ , ^С1(а) s2 Г Cl (а) I2 ,
(а)=Ш+ +
dCn (а)
2 штка
Сп (а)'
2—------------2Сй{а)^^-\. (2.12)
п—2
Мы видим, что и во втором приближении амплитуда а не зависит от времени и сохраняет любое свое начальное значение. Фазовый угол ф вращается с постоянной скоростью
ф = шп (a) t 4- 0 (0 = const),
и формула (2.10) дает приближенное представление общего решения (с точностью до величин порядка малости е2), содержащего две произвольные постоянные интеграции а и 6. Заметим, что для консервативных колебательных систем, описываемых уравнением типа (2.1), все величины Ап (п) обращаются в нуль, так что уравнение для амплитуды основной гармоники с точностью до любой степени s будет:
— = 0 dt
что выражает условие стационарности колебания С произвольной амплитудой. Так как погрешность формулы (2.10) является величиной порядка г2, то, производя вычисления с тсй же степенью точности,
52
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. X
находим следующие выражения для максимального и минимального отклонения:
со \
вСо (а) V Сп (а) j
> (2-13)
х _ п______________^-1- ~ V
II max /с ^ & Zj /г2 — 1 ’
п=2 1
Жтт = — а ¦
iCo(a) , в у (~1)"Сп(а)
'II mln & Т & л2 — 1
п—2
J
Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров, преобразуем формулу (2.12), служащую для определения зависимости частоты от амплитуды колебания.
Возводя обе ее части в квадрат и удерживая при этом лишь члены не выше второго порядка малости, получим:
С с» /1 /_\ dCn (а)
2 / \ 2i BCi(a) I е2 V da nri'/ \ dC0(a) ...
“и и = ш + -^Г + ж -S —та-------------------------2С° -%г~j • (2-14)
Ограничиваясь первым приближением, имеем:
0,1x(a) = ‘“a + J^L* (2-15)
Заметим теперь, что во всех полученных выше формулах линейная и нелинейная слагающие упругой силы входят раздельно.
Линейная слагающая входит посредством множителей со и к, нелинейная — посредством коэффициентов Сп(а) разложения (2.4) для функции Ф (a cos ф).
Однако нетрудно видеть, что разделение полной упругой силы р (х) (2.2) на линейную и нелинейную слагающие в значительной степени произвольно, так как постоянную к можно выбирать различными способами.
Определим ее, например, из того условия, чтобы «нулевое приближение» для частоты колебания со совпадало бы с первым приближе-
нцем а>1(а).
Тогда согласно (2.15) получим:
Сг(а)= 0. (2.16)
Рассмотрим теперь разложение Фурье
СО
р (a cos ф) =-рй (а) + ]>’ рп (a) cos ?гф (2-17)
П—i
и заметим, что в соответствии с (2.2) и (2.4) будет:
Рп(а) = еСп(а) (п = 0, 2,3,4, ...),
рх (а) = ак-{-еС1(а).
Итак, условие (2.16) приводит к следующей формуле для определения эквивалентной жесткости:
2п
1 1C
к = — рг (а) =— \ Р (а cos ф) cos ф с?ф. (2.19)
(2.18)
§ 2] КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ЛИНЕЙНЫМ 53
Постоянная к определяется здесь как некоторая функция амплитуды, и поэтому возможность использования формулы (2.19) связана с тем, что сама амплитуда а является постоянной. Если бы мы рассматривали затухающие псевдогармонические колебания, то такой выбор постоянной к
вообще был бы недопустимым, так как тогда Ei^lL оказалось бы переменной во времени величиной.
Постоянную к можно определить и иным способом. Рассматривая, например, степенное разложение упругой силы в окрестности точки равновесия
р (х) — ах + $х2 + ух3 + . ..,
естественно отнести ах к линейной части, а остальные члены к нелинейной
еФ (х) = Рж2 + уж3 + •. •,
что соответствует выбору к с помощью формулы
к = р'( 0). (2.20)
Независимо от того или иного способа выбора постоянной к мы можем, воспользовавшись (2.18), освободить формулы (2.10), (2.13), (2.14), (2.15) от параметра г, перестроив их так, чтобы в них входила лишь известная функция р (х).
