Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
S = JafS (5.10)
имеет смысл энтропии.
Займемся теперь вычислением статсуммы (5.1). Запишем ее сначала через микроскопические переменные:
А = ^ I exp{-f}= X expj-fl. (5.11)
I. J Л1<П2<...<ЯЛ I. J
N
Здесь EN= Y, импульсы kj удовлетворяют системе уравнений
J-1
Бете (2.13). Мы рассмотрим термодинамику системы с фиксированным
26
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
полным импульсом Рп, равным нулю (см. (2.20)), а это означает,
N
что Yj nj — 0- Следовательно, можно ввести новые переменные сум-
]= 1
мирования в (5.11) nj+1 j = nj+1— rij и переписать статсумму в виде (см. (2.22))
оо оо оо С г?
Z* = Е I ... I ехр . (5.12)
«21“ 1«32“ 1 nN,N~ 1”1 V )
В термодинамическом пределе полная энергия
+ 00
En = L J X2pp(k)dX (5.13)
— ос
зависит только от макроскопической переменной рр; это позволяет в (5.12) перейти от суммирования по микроскопическим переменным к интегрированию по макроскопическим переменным. Для этого воспользуемся заменой
л , Р'^
Ж
Действительно, можно вычислить отношение числа вакансий к числу частиц (в малом интервале dk) в терминах микро- и макропеременных и сравнить полученные выражения. Величина nJ+1J — это искомое отношение в терминах микроскопических переменных. Ее можно рассматривать как число вакансий для J-й частицы (только одна вакансия из nj+1J занята). Отношение числа вакансий к числу частиц можно выразить и через макроскопические переменные; из формул
(5.3), (5.5) получаем, что это отношение равно р,(Х)/рр(Х). Следовательно, суммирование в (5.12) заменяется на интегрирование по переменной ^(р,(Х)/р„(Х)). При замене многократной суммы на функциональный интеграл следует помнить, что одному макроскопическому состоянию соответствует много микроскопических (5.8),
(5.9). Итак, статсумму ZN в термодинамическом пределе можно представить как функциональный интеграл
ZN — const
®[^jb{LlPp(\)d\-DL)es-E»lT, (5.14)
5-;y=-^f^{X2p(X)-r[p((X)lnp((X)-pJ,(X)lnpp(X)-
-pfc(X)lnpft(X)]}. (5.15)
Появление 5-функции в (5.14) объясняется тем, что в каноническом ансамбле число частиц N фиксировано. Используя представление 5-функции
ioo
sW_dr< j
eHxdh9
§ 5. ТЕРМОДИНАМИКА МОДЕЛИ
27
перепишем (5.14) в виде
'р.М
ZN — const
dh
eXp^S-^ + ~h(jpp(X)dX-D)^. (5.16)
В пределе бесконечного объема L—> ос интеграл в (5.16) можно вычислить методом наискорейшего спуска. Вариация показателя степени в (5.16) имеет вид
Л5рр(х)|х2-й-е(х)-— К{\, ц)1п[1+е~Е^/:г]^
+
+-5A(Jp,(X)^-D). (5.17)
Здесь введено следующее обозначение:
р„(Щр,(Х) = е*Мт. (5-18)
Таким образом, метод наискорейшего спуска приводит к следующим уравнениям:
(5.19)
D= j рp(X)dX.
(5.20)
Можно доказать, что значение h в точке стационарности является вещественным. Можно также вычислить матрицу вторых производных показателя степени в (5.16) и доказать, что она отрицательно определена (см. Приложение 2). Это обосновывает законность применения метода наискорейшего спуска.
Таким образом, мы решили задачу вычисления статсуммы и свободной энергии (5.1):
Z=e~FIT,
TL
F=Nh---------
2к
1п(1 +
)dX.
(5.21)
Давление есть производная свободной энергии по объему при фиксированной температуре:
+ 00
* — =Т
8L JT 2п
1п(1 +е'
¦«НМ/Г
)dX.
(5.22)
Полный дифференциал давления равен
d& = \ j- )dT+Ddh.
28
ГЛ I ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Это одно из важнейших термодинамических тождеств. Отсюда видно, что S (5.10) действительно есть энтропия. Выпишем теперь все уравнения, определяющие состояние термодинамического равновесия:
+ ос + сс
2яр,(Х,)=1+ J К(к, ц)рр(ц)я?|а; ?>= f pp(?i)afX, (5.24)
— ос
+ 00
е(Х)=Х2-/г-~ ц)1п(1+е“Е<ц)/:г)й?)1, (5.25)
— 00
Pft(>o)/Pp(X) = eE <Х)/Г, р,(Х,) = рр(Х.)+р*(Х.); Рь(Ц>0.
(5.26)
Плотность Z>>0, температура Т> 0 и константа связи с> 0 здесь являются свободными параметрами. Эти уравнения определяют, например, уравнение состояния газа — зависимость давления (5.22) от плотности и температуры (одна из важнейших характеристик газа). Отметим, что состояние термодинамического равновесия не является чистым (т. е. не является собственной функцией гамильтониана, как это было в случае Т= 0). Состояние термодинамического равновесия — смесь собственных функций. Дело в том, что одному набору макроскопических переменных рр(А.), рл (а) соответствует ехр{й?5} микроскопических состояний, каждое из которых есть собственная функция, задаваемая набором целых чисел {п,}. Уравнение
(5.25) для е(а) играет чрезвычайно важную роль. Впервые оно было введено в работе [1.14]. Мы будем называть его уравнением Янга. В § 6 доказана теорема существования решения для этого уравнения. В § 8 мы увидим, что е(л)—это энергия возбуждения над состоянием термодинамического равновесия. Это, вгфочем, легко понять at без всяких вычислений. Рассмотрим отношение числа замятых /вакансий к числу всех вакансий:
»М=й^г»?- Р-27»
Сравнивая это равенство с фермиавским распределением, легко травянь, что е(а)—действительно энергия элементарного возбуждения. 'Фуик-цию &(л) мы будем называть фермиевсшм весом.
Приведем несколько оценок, аналогичных (3.10), (3.11), которые будут полезны в дальнейшем. Из неравенства (2.23) в термодинамическом пределе получаем
