Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
«
<n\Hh\n>_Eh_L <«!«> L
§ 4. Возбуждения над основным состоянием
Возбуждения над основным состоянием можно трактовать в терминах частиц. Любое возбуждение состоит из нескольких элементарных. Энергия и импульс любого состояния равны сумме энергий и импульсов элементарных возбуждений. Многочастичная матрица рассеяния равна произведению парных матриц рассеяния. При с = со модель эквивалентна свободным фермионам (см. (2.34)), и все возбуждения легко классифицировать.
Остановимся на этом вопросе. Чтобы не фиксировать число частиц, рассмотрим гамильтониан (3.14). Заметим, что q = sfh при с =оо, и в основном состоянии заполнены все вакансии на отрезке
— При этом р = — на этом отрезке (см. (3.12)), а вне
2п
его р = 0. Существует два типа возбуждений. Во-первых, это частица, энергия и импульс которой даются формулами:
ep(Xj = X2-h^ 0, = (4.1)
Это возбуждение получается при внесении в вакуум дополнительной частицы с импульсом X вне отрезка [—q, q]. Второе возбуждение—это дырка. Она получается при удалении одной из частиц из моря Дирака. Энергия и импульс этого возбуждения равны
sh(\) = h-X2> 0, к„(к)=-\, |Х|<?. (4.2)
В этом возбуждении на одну частицу меньше, чем в основном состоянии, поэтому естественно считать, что заряд дырки равен — 1. Заряд частицы равен +1. Зарядом мы называем разность числа частиц в возбужденном состоянии и в основном состоянии. Координатная волновая функция Xn (1-26) имеет предел, когда с-юо. Заметим, что при переходе от основного состояния к возбужденному периодические граничные условия (2.1) для волновой функции частиц из моря Дирака естественным образом заменяются на антипери-одические:
XN(zt,..., Zj+L,..., zN)= -XN(z1; Zj,..., zN). (4.3)
При конечном значении константы связи с фермионы взаимодействуют, однако возбуждения можно классифицировать так же, как
§ 4. ВОЗБУЖДЕНИЯ НАД ОСНОВНЫМ СОСТОЯНИЕМ
21
и в случае свободных фермионов. В модели есть два элементарных возбуждения—частица с зарядом +1 и дырка с зарядом — 1. Сначала построим возбужденное состояние, соответствующее частице. Потребуем, чтобы волновые функции, описывающие эти возбужденные состояния, также удовлетворяли антипериодическим граничным условиям (4.3). Фактически мы накладываем следующие граничные условия:
ftv(zi> -,Zj + L, ...,zN) = (-l)ANxN(zu ...,Zj, ...,zN). (4.4)
Здесь AN—это изменение числа частиц по сравнению с основным состоянием. Выпишем уравнения Бете, описывающие основное состояние:
L\ + Д0(XJ-Хк) = 271 [j-j=\, (4.5)
Мы называем основное состояние физическим вакуумом, а частицы, присутствующие в нем,— вакуумными. В возбужденном состоянии присутствуют N+1 частиц с импульсами Х}, j= 1,..., N+1. В этом случае уравнения Бете выглядят так:
Llj +Д 0(Х,-\}+ 0(V^v+ 0 = 2* (4-6)
N N+1
^^•N+17^ Л ® (^-N+ 1 — ^Jt) = 2кп})+ 1, пя+1> - . (4.7)
k= 1 1
Возбужденное состояние характеризуется набором из jV+1 целых чисел {п}; /= 1./V+ 1}, причем первые N из этих чисел совпадают с соответствующим набором для основного состояния (2.26). Величину XN f j обозначим через Хр. Вычтем уравнения (4.6) из уравнений (4.5)
и учтем, что в термодинамическом пределе (kj—\j) = ОЩЬ):
? K(Xj, ю-= 1
-YJK(Xj,Xk)(Xk-Xk) = О- (4.8)
к= 1
Здесь К(Х, (i) = 0' (X — |i); см. (3.9). Используя уравнения (3.7), (2.31),
(3.5), получим:
2ЯР (^j) L (Xj —Xj) — 0 (Xj — Xp) —
- i K(Xj, Xk) (Xk+1-xk) = 0. (4.9)
k= 1 Л*+1 Л*
Для того чтобы перейти к термодинамическому пределу в этом уравнении, удобно ввести функцию сдвига;
<4Л0)
22
ГЛ. I. ОДНОМЕРНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ
Заменив сумму на интеграл в уравнении (4.9), получим линейное интегральное уравнение для функции F:
ч
|*(и, v)F(v|Xp)«fv=le(n-Xp), |Ьр|>*. (4.11)
J
Функция F(n|X) определена при | р. | < «у; однако уравнение позволяет аналитически продолжить функцию F(n|X) на всю вещественную ось.
Функция сдвига позволяет вычислить все физические характеристики возбуждения в термодинамическом пределе: энергию возбуждения, импульс и матрицу рассеяния. (Функция F описывает облако виртуальных частиц, окружающих затравочную частицу Хр, или, по-другому, поляризацию вакуума, производимую затравочной частицей Хр.) Вычислим сначала энергию возбужденного состояния. Наблюдаемая энергия—это отклонение АЕ(Хр) энергии возбужденного состояния от энергии основного состояния:
&Е(К) = Ео('Хр)+ X [е0(Х,)-Е0(л;)] = е0(лр)- J е'0(ц)^(ц|Хр)^ц;
j=l ~q
(4.12)
здесь е0(Х) = Х2 — h (см. (3.15), (3.16)). Аналогично вычисляется импульс возбуждения к. Отметим, что импульс основного состояния равен нулю, а
(4.13)
-Я
В Приложений 1 (см. также (7.9)) доказано, что
AE(Xp) = E(Xp)>0; \Xp\>q. (4.14)
Здесь е(Л) определяется линейным интегральным уравнением (3.16):
ч
ц)е(ц)й?ц = Х2-Л = е0(Х),
(4.15)
е(?) = е(-?) = 0-
Это уравнение позволяет аналитически продолжить е(Х) на всю вещественную ось. Теорема существования для этого уравнения получена в § 7, там же выявлен ряд важных свойств решения е(л). В Приложении 1 доказано, что импульс можно представить в виде
fc(X,p)=X,p+/0(Х,р-ц)р(ц)<*ц, \Xp\>q. ,(4.16)
-«
Прокомментируем теперь построение второго элементарного возбуждения—дырки. В этом возбуждении N— 1 частица, наблюдаемый заряд равен —1. Волновая функция %N снова удовлетворяет ан-типериодическим граничным условиям. Набор целых чисел {л,},
