Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
В приложении к главе обсуждаются тензорные обозначения, использование которых существенно упрощает вычисления как в классическом, так и в квантовом случаях.
§ 1. Представление нулевой кривизны
Пусть мы имеем некоторое гамильтоново нелинейное эволюционное уравнение в двумерном пространстве-времени (х—пространственная, t — временная координаты). Гамильтониан обозначим через Н. Рассмотрим периодическую задачу на интервале длины ?(0<x<L). Традиционным основанием для применения метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) к такому уравнению является представление нулевой кривизны для него:
[д»-?ф|Я.), 4+Н^)] = 0. (1.1)
Здесь, I/ и V—квадратные матрицы размерности КхК (К определяется конкретным уравнением), зависящие от спектрального параметра X и динамических переменных задачи. Зависимость от / в формулах мы не выписываем. Матрицу V(x\X) будем называть потенциалом, а матрицу U (х \ X)—оператором эволюции во времени. Соотношение
(1.1).- должно выполняться тождественно при любом значении спектрального параметра X. Оно возникает как условие совместности двух, дифференциальных уравнений:
сН.Ф(х, {)—и(х\Х)ф(х, t), дхФ(х, t)=— У(х\Х)Ф(х, t). (1.2)
Здесь Ф(х, t)—неизвестная вектор-функция (она тоже зависит от Я.).
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
69
При квантовании понадобится перенести представление нулевой кривизны на периодическую решетку с М узлами и шагом А:
d,L{n\X)=U(n+\\X)L{n\X)-L{n\X)lJ(n\X). (1.3)
Здесь L и U—матрицы размерности Кх К, зависящие от спектрального параметра и динамических переменных. Равенство (1.3) также возникает как условие совместности двух уравнений на решетке:
д,Ф(п, 1)=1/(п\Х)Ф(п, t), Ф(и+1, t) = L(n\X)<b{n, t). (1.4)
Здесь п — номер узла на решетке. Нам удобно рассматривать непрерывные модели, вводя инфинитезимальную решетку (Д->0). При этом координата и-го узла решетки есть хп = пА, п=\,..., М, М= Z./A. Переход на такую решетку осуществляется при следующем отождествлении:
L(n\X)=I-V(xn\X)A + 0(A2), (1.5)
где I—единичная Кх /^-матрица.
Введем один из основных объектов МОЗР—матрицу перехода Т{х,у\Х). Это матрица размерности Кх К. В непрерывном случае для отрезка [у, х](х^у) она определяется следующими требованиями:
[дх+У{х\Х)\Т{х,у\Х) = Ъ, (1.6)
Т{у,у\Х) = 1. (1.7)
Матрица перехода обладает следующим групповым свойством: если z—внутренняя точка отрезка [у, х], то
Т(х, z\X)T{z, у\Х)-Т(х, ,у|А.) (x^z^y).
В левой части стоит произведение двух матриц размерности КхК. Матрица перехода T(L, ()|А) на всем интервале [О, L] называется матрицей монодромии.
Решеточная шггрица перехода от т-то узла до (и-Н)-го узла есть произведение {n—m +1) матриц размерности Кх К:
Т(п, m|X) = L(«|A.)L(n — l|A.)...L(m|A.), n'^m. (1.8)
Отметим, что L(k\’k)=T(k, k\X) и является элементарной матрицей перехода на один узел решетки. Матрица перехода Т{М, 11>,) на всю длину решетки называется матрицей монодромии. Матрица L(fc|X.) традиционно называется L-оператором.
След матри®» монодромии на полном интервале в непрерывном и решеточном случаях
т (А.) = tr T(L, 01X), т (А.) = tr Т(М, 1|А) (1.9)
играет особенно важную роль. Гамильтониан исходного нелинейного уравнения Н выражается через логарифмические производные т(а) с помощью тождеств следов.
70
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
Приведем пример. Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера г'д,\|/= —(1.10)
Оно гамильтоново. Гамильтониан и скобки Пуассона полей v|/, v|/* суть
L
о
{v|/(x), v|/*(j)}=iS(x-j). (1.12)
Заряд («число частиц»)б и импульс Р
L L
g = J\|/*v|/Jx, Р= — 8X^dx (1.13)
о о
коммутируют с Н: {Н, Q} = {H, Р} = 0. Эта модель представляет собой классический предел квантового нелинейного уравнения Шредингера, подробно рассмотренного в гл. 1. Нелинейное уравнение Шредингера представимо в форме (1.1), матрицы V и U имеют размерность 2x2:
V(x\X) = (iXj2)az+n(x), (1-14)
J7(x|A.) = (j'X.2/2)az4-Hl(x)4-«CTz(5xQ4-cv|/*v|/). (1-15)
Здесь az—матрица Паули (az=diag(l, — 1)), а матрица Q равна
о,*>=( 0 '/'*'<*). (,.16)
\-1,/сх|/(х) 0 /
Матрица перехода обладает следующими свойствами:
detT(x, j|A.) = 1, (1.17)
охТ\х, у\Х')ох=Т(х, у\Х\ gx = ^ (1.18)
Соответствующий L-оператор на инфинитезимальной решетке имеет вид
шх}=МА/2 (1-19)
\ 1\/с\|/иД 1 +iXA/2j
Д
*»-l
Тождества следов в этой модели выглядят следующим образом (см.
(1.9), (1.11), (1.13)):
In [eiXLI2x(X)] -> ic [X~lQ + X~2P+X-3H+0(X~4)]. (1.21)
X-*ioo
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
71
Приведем доказательство этой формулы. В пределе А.->г'оо представим матрицу перехода в виде
Т(х, y\X) = <%(x\X)D(x, (1.22)
Здесь D—диагональная матрица, а матрица SU зависит только от одного пространственного аргумента. Будем искать матрицу % в виде ряда по обратным степеням X:
со
<%(х\X) = I+ ? Х~к%к{х\ (1.23)
к= 1
где /—единичная матрица, а матрицы антидиагональные. Смысл представления (1.22) состоит в диагонализации матрицы перехода с помощью калибровочного преобразования. Дифференциальное уравнение (1.6) приводит к следующему уравнению для D:
[3,+ »Ч*|А.)]Я(*,.ИА.) = 0, D(y, y\X) = I. (1.24)
