Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф(Р) + ф(_Р) = 0, ф(Р) _> ф(р) ^
р—> + СО р—* — со
Собственные значения энергии, импульса и числа частиц получаются аддитивно из соответствующих величин отдельных частиц:
N N
EN = m0 ? ch|3*; PN = m0 ? sh(3k, Qn = N. (1.14)
fc=l fc=l
60
ГЛ. III. МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
Волновая функция (1.12) меняет знак при перестановке любой пары Pi, что означает существование принципа Паули (см. § VI.4).
Следует отметить важное отличие от одномерного бозе-газа. Непрерывных собственных функций гамильтониана (1.9) не существует. Функция (1.12) является разрывной (при совпадении пары Xj). Существуют различные способы доопределения оператора (1.9). Это приводит к тому, что двухчастичная матрица рассеяния при разных доопределениях может по-разному зависеть от затравочной константы связи g (g может замениться на некоторую функцию от g). С точки зрения квантовой теории поля такая ситуация является нормальной. Зависимость физических величин от затравочной константы связи может изменяться при изменении схемы регуляризации. Существенно, однако, что зависимость этих величин от наблюдаемой (одетой) константы связи при этом не изменяется.
В модели существуют элементарные частицы с положительной (Im Р = 0) и отрицательной (1т [3 = тг) энергией. Кроме того, существуют связанные состояния. В работе [3.6] выведены условия, при которых п частиц могут образовывать связанное состояние. Они оказываются теми же, что и соответствующие условия в модели (П.2.2) — все величины (при фиксированном п)
sin ур sin у (п—р) (р= 1,1) (1-15)
должны быть одного знака. Здесь
7=^- (Мб)
Волновая функция, описывающая связанное состояние п частиц, получается из (1.12) следующим образом. Надо положить N=n, а быстроты р* расположить так:
рк = В + г'у(и— 1 — 2k), k = 0, 1, 1. (1.17)
При этом 1тВ = 0, если все величины (1.15) положительны и 1тВ = л, если все величины (1.15) отрицательны. Полученная таким образом волновая функция убывает по всем разностям \xj — дг*|. Сразу можно указать некий набор решений неравенств (1.15), который оказывается наиболее важным в дальнейшем. Очевидно, что значения
л= 1, 2,...,
+ 1 (1.18)
являются разрешенными. Здесь квадратные скобки означают целую часть (ближайшее к данному числу целое число, не превосходящее данного).
Вернемся теперь к волновой функции, описывающей элементарные частицы (1.12). Поместим систему в ящик длины L и наложим периодические граничные условия. Это приведет к тому, что быстроты будут удовлетворять следующей системе уравнений Бете:
N
eim0Lshp,_ Yl “М (1.19)
k= 1
§ 2 ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ
61
Отметим, что собственные функции (1.12) периодически зависят от g, поэтому достаточно считать, что
-n<g<K, 0<у<л. (1-20)
§ 2. Основное состояние
Рассмотрим элементарные частицы с отрицательной энергией; их быстроты запишем в виде
р = а + г'л, Imoc = 0. (2.1)
Систему уравнений (1.19) для них преобразуем к логарифмическому виду:
N
m0Lsha.i = 2nni+ ? Ф(о?, — ак). (2.2)
к= 1
Это система уравнений Бете для массивной модели Тирринга. Собственные значения энергии и импульса равны
EN=-m0'? chak, PN=-m0J^shak. (2.3)
к к
Так же как и в случае одномерного бозе-газа (§ 1.2), уравнения
(2.2) порождаются некоторым действием (действие Янга для данной модели). Легко показать, что это действие является выпуклым только при
0<?<л, 0<у<л/2. (2.4)
Здесь мы рассматриваем именно эту область значений констант связи.
Основное состояние в модели строится следующим образом. Все состояния элементарной частицы с отрицательной энергией должны быть заполнены, т. е. целые числа п, идут через единицу:
«1 + 1-«i=l- (2.5)
Поскольку массивная модель Тирринга — это модель релятивистской квантовой теории поля, то в ней присутствуют ультрафиолетовые расходимости. В этой 1лаве мы будем решать проблему ультрафиолетовой регуляризации стандартным (для теории возмущений) способом. Будем учитывать только те частицы, быстроты которых удовлетворяют условию
— Л<а<Л. (2.6)
Здесь Л — параметр ультрафиолетового обрезания. Следует отметить, что наиболее строгая и последовательная регуляризация, осуществляемая с помощью решеточной модели синус-Гордон (см. § VII.5), приводит к тем же физическим ответам.
62
ГЛ III МАССИВНАЯ МОДЕЛЬ ТИРРИНГА
В пределе бесконечного объема L -> оо, разрешенные значения быстрот ос, сгущаются (ос,+ 1—oc, = 0(l/L)). Введем функцию распределения частиц по быстротам:
р(а) = ——1---------. (2.7)
L(a. j+1-a.j)
По аналогии с (1.3.7) получаем линейное интегральное уравнение для р(ос):
л
ДГ(а, P)p(P)rfP = ^ch«. (2.8)
2я
Здесь
Таким образом, основное состояние представляет собой море Дирака, заполненное элементарными частицами с отрицательной энергией.
Устремим Л->оо; при этом затравочную массу устремим к нулю согласованным образом. Зависимость т0 от Л вычисляется из условия конечности наблюдаемой массы физического возбуждения в пределе Л ->оо:
w0 = aexpi — 1. (2.10)
I п+8)
Здесь а — некоторая постоянная. Соответствующие вычисления мы проведем в следующем параграфе. Формула (2.10) позволяет построить асимптотическое решение (Л->оо) уравнения (2.8):
