Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
(47.15)
где а —амплитуда колебаний
Из (47.15) имеем
v = аы0 cos со0^,
(47.16)
т. е. опять-таки по (47.15)
(47.17)
Следовательно,
dx
wKB (x)dx = ipi(x)dx, причем tyi следует взять из (47.12'). Следовательно,
(47.19)
§47]
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
189
а О А' = 0В' но» в отличие от классического случая,
вероятность найти частицу отлична от нуля и за точками поворота. Это обстоятельство не представляет в квантовой механике какого-либо противоречия, так как равенство (47.13) в квантовой механике не имеет силы: кинетическая энергия Т и потенциальная U не являются одновременно измеримыми величинами.
х=-а
х=+а
Рис. 25 Сравнение квантовой вероятности местонахождения частицы (для л=1) с классической.
А, В-г-уточки поворота, А\ В'-г-точки максимума cwKB.
Рис. 26. Классическая и квантовая вероятности для состояния осциллятора с наименьшей энергией ?0.
Особенно сильно подчеркивается различие между квантовым и классическим случаем, если рассмотреть состояние с наименьшей энергией. По классической теории наименьшая энергия осциллятора есть ? = 0 и соответствует покоящейся в положении равновесия частице. Вероятность wKJl (х) в этом случае имеет вид, приведенный на рис. 26. Она всюду равна нулю, кроме точки х = 0. По квантовой теории наименьшая энергия осциллятора есть
Z7 __ЙСОр ,
?о — 2 ’
она называется нулевой энергией. Вероятность wKB (л:) в этом случае равна
Wkb = 'фо (X) = е~хг‘*°.
x0V я
Она также приведена на рис. 26.
Выясним подробнее свойства нулевой энергии. Очевидно, что эта энергия не может быть отнята от осциллятора, ибо по своему существу она есть минимальная энергия, которую может иметь осциллятор. Ее можно отнять, лишь изменяя сам осциллятор, именно, уменьшая частоту <о0, т. е. путем изменения коэффициента
190 МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VIII
упругости. Существование нулевой энергии является типичным для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей
(Арр-(А^^^. (47.20)
В самом деле, средние значения р и X в состоянии с определенным значением энергии равны нулю:
X = = (47.21)
(что следует из нечетности подынтегральной функции),
Р = J tynPxtyn dx = — ih J ^ dx = [- ^ Ц (*)]^“ = 0. (47.22)
Поэтому для осциллятора соотношения неопределенностей (47.20) можно переписать в виде
(47.20')
С другой стороны, средняя энергия осциллятора равна
?=2| + ^*#. (47.23)
Из сопоставления (47.20'). и (47.23) непосредственно видно, что, уменьшая потенциальную энергию, мы увеличиваем кинетическую, и наоборот. В частности, состояние с наименьшей потенциальной энергией П = 0 есть состояние с бесконечно большой кинетической энергией 7 = оо. Объединяя (47.20') и (47.23), получаем
<47-24>
Отсюда легко найти минимальное значение Е. Именно, из
—pLr=° д(р2)
получаем
(47.25)
т. е. нулевая энергия есть наименьшая энергия, совместимая е соотношением неопределенностей.
Примером частиц> совершающих малые колебания, могут служить атомы в молекуле или в. твердом теле. Экспериментально удается доказать наличие нулевой энергии и нулевых колебаний атомов путем наблюдения рассеяния света кристаллами. Рассеяние света обусловлено колебаниями атомов. По .мере уменьшения температуры амплитуда колебаний, согласно классической теории,
ОСЦИЛЛЯТОР В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
191
должна неограниченно уменьшаться, а вместе с тем должно исчезать и рассеяние света,. Между тем опыт показывает, что интенсивность рассеяния света по мере уменьшения температуры стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атома не прекращаются. Этот факт подтверждает существование нулевых колебаний.
§ 48. Осциллятор в энергетическом представлении
Обратимся к представлению, в котором за независимую переменную взята энергия осциллятора Е. В этом представлении оператор полной энергии Н будет диагональной матрицей с элементами
Нтп = Еп8тп, (48.1)
или на основании (47.10)
Н =
о о ...
о о ...
• Йо)0 0 ...
(48.2)
Любое состояние осциллятора tJj (х, t) можно представить как суперпозицию стационарных состояний (ср. § 30)
.V
№ 0 = с« (°) ^ с" (0 ^ (*)> (48-3)
гДе W дается формулой (47.11), а Еп — формулой (47.10). Совокупность всех сп будет волновой функцией в «^-представлении. Вероятность найтц значение энергии Еп в состоянии ^(я, /) равна
w(EJ = \cn (/) \2 = \сп (0) |2. (48.4)
Эта вероятность не зависит от времени, что соответствует тому, что энергия есть интеграл движения.
Найдем оператор координаты X в «^представлении. По общей теории он должен изобразиться матрицей с элементами
Хтп = \yttX$ndx, (48.5)
Подставляя сюда i|>m и я|)„ из (47.7), получаем
-Ь°° ----
Хтп = *о 5 e-VHm (D \Нп (Е) dl, х0 = у (48.6)
192. МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ сил
Этот интеграл может быть вычислен:
-j для т = п — 1,
[ГЛ. VIII
+оо
1 f tt “f" 1 . 4
у для m = /i+l,
О в остальных случаях.
(48.7)
Пользуясь этим результатом, мы можем написать (48.6) с помощью символа Ьтп в следующем виде:
Хтп—Х{)[^~ |/^ '“у- fi/i+1, mj • (48.8)
