Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
П
Будем теперь рассматривать амплитуды ап не как числа, а как
операторы со свойствами (118.14). Тогда сама функция будет
оператором
?(<?)=2«Ж(‘?)> (118-19)
П
действующим на числа Nu N2> ..., Nm, ... Переход от (118.18) к (118.19) означает, что мы перешли от чисел к операторам, т. е. мы как бы перешли от классической теории к квантовой. Но так как описание движения одной частицы с помощью волнового поля г|з (q) уже само по себе является квантовым, то
замену амплитуд ап на операторы ап называют вторичным
квантованием, а волновую функцию ? называют квантованной волновой функцией1).
Заметим, что переход от неквантованной волновой функции (118.18) к квантованной (118.19) может быть сформулирован непосредственно без обращения к операторам ап. Действительно, из
(118.14) и (118.19) следует
? (,7) ?* (<?') - ?* (<?') ?(<?)= 2 {апйт - а*ап} % (q) а|>* (?') =
т, п
=2 (я') (я)=2(я') ф» (?)«
т,п п
где сумма распространена по всем собственным функциям. Такая сумма, как можно доказать, равна б (q' — q). Поэтому квантование волновой функции можно записать в виде
? (q) ?* (?') - ?* (q1) ? (q) = б (q' - q). (118.20)
J) Следует не упускать из виду, что волновой функцией в обычном понимании этой величины в теории вторичного квантования является функция °(Nь N........Nm, .... 0, а не Ь
514
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. XX
С помощью квантованной волновой функции х? (д) (118.19) гамильтониан (118.16) может быть написан в виде й=| $v** (?)(?) d? + $ ** ^ (?) * (?)d?+
+ y J §**(?) **(?') q')W(q)^(q')dqdq'. (118.21)
Эквивалентность (118.21) и (118.16) очевидна, если учесть (118.19) и выражения для матричных элементов (118.6) и (118.7).
В этой форме гамильтониан п (118.21) можно рассматривать как энергию некоторого волнового поля, которое «квантовано» в том смысле, что классическое поле о|)(^) заменено на оператор Ф (<7). Действительно, будем понимать под г|)(<7) волновое поле де Бройля — Шредингера и предположим, что отдельные элементы этого поля взаимодействуют между собой так, что энергия взаимодействия двух элементов пропорциональна произведению плотностей | г|э (q) |21 г|) (q’) |2. «Классическое» уравнение для такого поля будет1)
ih mq) = _ Й* ^ ^ _|_ у ^ у ^ +
+ яН<7)$ W (q, q')\^(q’)\*dqr. (118.22)
Полная энергия такого поля будет равна2)
Я = !г$ lt(<?)!2^(?) dq +
+ Т $ \ ^(4)\2\^(9')\2W(q, q')dqdq'. (118.23)
Если теперь расположить здесь гр и гр* надлежащим образом и заменить их операторы Ч; и ?*, подчиняющиеся правилу перестановки (118.20), то мы получим в точности гамильтониан
(118.21) теории вторичного квантования. Отсюда видно, что теория вторичного квантования допускает следующий замечательный подход к теории систем одинаковых частиц: рассматривается некоторое классическое поле г|). Для него находится выражение энергии Н. В этом выражении классическое поле г)) заменяется на оператор V. Тогда мы приходим к гамильтониану Н теории вторичного квантования и получаем право говорить о частицах,
х) Это уравнение отличается от правильного уравнения Шредингера для одной частицы последним членом, который выражает допущенное нами само-воздействие^-волн.
2) Пользуясь уравнением (118.22), можно убедиться, что dH/dt — 0, т. е. Н есть интеграл движения. Так как второй член в (118.22) заведомо есть потенциальная энергия во внешнем поле, то все выражение, поскольку Н = const, следует рассматривать как полную энергию поля.
§ П8]
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
515
свойственных данному полюг|): после квантования поле обнаруживает дискретную, корпускулярную природу. Эта процедура носит название «квантования поля». Сила ее заключается в том, что она применима к любому классическому полю1).
В приведенном выше примере речь шла о квантовании поля де Бройля—Шредингера для случая частиц Бозе.
Совершенно таким же путем можно выполнить квантование для случая частиц Фгрми. Различие заключается лишь в свойствах операторов а, а*. Чтобы найти эти операторы, нужно выполнить заново преобразование уравнения (118.3) от переменных ть т2, mN к переменным Nly N2> Nm, ..., которое
для частиц Ферми несколько более кропотливо ввиду того, что при перестановке частиц функции с(тъ т2, mN, t) меняют свой знак. Далее, как уже отмечалось, числа Nm могут иметь лишь два значения: 1 и 0. Выполняя сходные преобразования2), мы получим из (118.3) опять уравнение (118.15) с гамильтонианом (118.16), но операторы аПУ а% будут определены в этом случае иначе, именно,
причем знак + или — берется, смотря по тому, четное или нечетное число занятых (Nm— 1) состояний предшествует состоянию п, если состояния расположить в порядке возрастания3) п. Из этих правил следует
х) Общая теория этого квантования изложена в книге: Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947.
2) См., например, П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, I960, § 65, или оригинальную работу В. А. Фока, Zs. f. Phys. 75, 622 (1932).
3) Можно ввести вигнеровскую функцию vn, определяемую формулой
anf(Ni, N2, ..., 1 м.. ¦> =
