Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Другим примером соотношения вида (113.4) может служить рассмотренное в § 99 явление распада, исчезновения некоторого заданного первоначального состояния гр (л*, 0). Именно, там было показано, что если неопределенность энергии АЕ отождествлять с шириной квазистационарного уровня А? = ЙЯ/2, а под At понимать длительность жизни состояния т = 1Д = At, то АЕ и At связаны соотношением (113.4) (ср. формулу (99.31)).
Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом было показано1), что рассмотренные здесь примеры являются частным случаем весьма общего толкования соотношения (113.4), заключающегося в следующем: пусть L есть любая механическая величина, не являющаяся интегралом движения. Тогда, если состояние нестационарно, то среднее значение L будет меняться с течением времени. Пусть At есть тот промежуток времени, в течение которого среднее значение L меняется на величину неопределенности AL (AL есть корень квадратный из среднего квадратичного отклонения (AL)2: | L (t + At) — L (t) J == AL). Тогда At связано с неопределенностью в энергии АЕ (причем АЕ = У (АЕ)2) соотношением (113.4).
!) См. Изв. АН СССР сер. физич., 9, 122 (1945).
Глава XIX
СИСТЕМЫ ИЗ ОДИНАКОВЫХ МИКРОЧАСТИЦ
§ 114. Принцип тождественности микрочастиц
Мы перейдем теперь к рассмотрению свойств систем, состоящих из одинаковых частиц. Одинаковыми частицами мы будем называть частицы, имеющие одинаковые массу т, заряд е, спин s и т. д., так что в равных условиях (внешнее поле, присутствие других частиц) такие частицы ведут себя одинаковым образом.
С точки зрения атомизма естественно, но не необходимо считать, что все экземпляры частиц одного рода (электроны, протоны, нейтроны и т. д.) между собой тождественны. В самом деле, измерение величин, характеризующих частицы (m, е, .s), производится, конечно, лишь с некоторой точностью (Am, Де, As), и всегда законно предполагать, что, по крайней мере в пределах точности измерения, разные экземпляры могут отличаться друг от друга.
Одинаковы или неодинаковы все экземпляры одного рода, это можно было бы решить лишь в том случае, если бы поведение совокупности одинаковых частиц качественно отличалось от поведения совокупности различных, хотя бы и сколь угодно мало частиц. Именно к такому качественному отличию свойств совокупности одинаковых частиц от свойств совокупности различных частиц приводит квантовая механика. Поэтому, опираясь на квантовую механику и опыт, можно решить на первый взгляд неразрешимый вопрос о том, тождественны ли друг другу все представители частиц одного рода или нет.
Чтобы уяснить себе, каким путем решается этот вопрос, мы должны обратиться сначала к изучению наиболее простых особенностей совокупностей, состоящих из одинаковых частиц. Пусть мы имеем N одинаковых частиц. Координаты, принадлежащие &-й частице, обозначим буквой qky так что под qk следует понимать три координаты, определяющие положения центра тяжести частицы (хк9 yk> гк) и, может быть, еще четвертую, определяющую спин частицы (s*), если она таковым обладает.
§ 114]
ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ МИКРОЧАСТИЦ
489
Обозначим массу частиц через т, энергию во внешнем поле через U (qky t), а энергию взаимодействия &-й и /-й частиц через W (qkl 9У), тогда гамильтониан системы таких частиц будет равен
Н (^1) ^2» • • • » tfk) * • • » Qii • • • у qN9 0 ^
N N
= 2 [-21^ + У(?ьО]+ 2 ^’<7/). (П4.1)
k =1 k>j=l
Предположение об одинаковости частиц выразилось здесь в том, что массы частиц, энергия во внешнем поле U и энергия взаимодействия W для всех частиц взяты одинаковыми. Эта особенность гамильтониана сохраняется в любом внешнем поле: на одинаковые частицы любое внешнее поле действует одинаковым образом.
Для проведения общих выводов не очень удобно опираться на специальный вид гамильтониана1) (114.1). Поэтому мы должны выразить тот факт, что гамильтониан описывает систему одинаковых частиц, не прибегая к явному его виду.
Исходя из (114.1), легко уяснить себе, в чем заключается обязательная и наиболее общая особенность гамильтониана системы одинаковых частиц. Если в гамильтониане (114.1) мы переставим местами координаты k-и частицы (qk) и /-й частицы (<7у), то гамильтониан не изменится. В самом деле, такая перестановка обозначает просто перестановку слагаемых в суммах, входящих в гамильтониан
Н {tfl9 Ц19 • • • » Qk9 • * • 9 Qjl • • • 9 (JN 9 О
= Я (quq29 ... , qj9 <7*, ..., <7лг, t) (114.2)
для всех пар (/, k) N частиц, образующих систему. Если бы среди N частиц была бы хоть одна отличная, то это равенство не имело бы места как раз для перестановки этой отличной частицы с любой другой. Таким образом, равенство (114.2) и выражает самое общее свойство гамильтониана, относящегося к совокупности одинаковых частиц.
Коротко это свойство может быть сформулировано так: гамильтониан системы одинаковых частиц инвариантен {симметричен) относительно перестановки координат любой пары частиц.
Ввиду того, что нам в дальнейшем придется часто встречаться с перестановками, нам удобно ввести новый оператор —
!) Написав гамильтониан Н в форме (114.1), мы исключили непотенцналь-ные поля (например, магнитное поле), также исключили взаимодействие, могущее зависеть от скоростей частиц (магнитные силы). Все это могло бы быть учтено и нисколько не изменило бы хода дальнейших рассуждений.
