Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
= 2-?\Wa^,n\4[E(a, р, y)-E„-1l<i>]dadVdy. (84.16)
Нетрудно также получить вероятность переходов в непрерывном спектре. Именно, беря начальное состояние г|)а„Мо [т. е. capY (0) = б (a — a0) б (Р — Ро) б (у — у0)]* аналогичным путем получим для вероятности перехода в 1 сек из а0, р0, у0 в интервал а, a + da; р, P + dP; у, y + dy:
РaoPoVo (а> Р. ?) da dp dy =
= х I W'aPv, a»PoVo I2 б [E (a, p, y)-E (a0, p0, Vo) - Щ da dP dy.
(84.17)
Эти формулы показывают опять-таки резонансный характер перехода, так как найденные вероятности отличны от нуля лишь для переходов, для которых
Йо) = ? (а, р, у)-Еп = П(да^п (84.18)
или
ЙСО = Е (ОС, Р, у) Е (&0, Ро> 7о) == aoPoVo» (84.18)
т. е. частота внешнего воздействия равна частоте Бора для возможного перехода.
В точке резонанса вычисленные вероятности обращаются в бесконечность. Однако по соседству с этой точкой они равны нулю*). Поэтому вероятность перехода в сколь угодно малый интервал энергий, содержащий точку резонанса, получается конечной. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять вместо параметров а, Р, у» нумерующих состояния непрерывного спектра, какие-либо новые параметры, в число которых входит энергия. Пусть это будут параметры ?, а, Ь. Они суть функции ос, р, у. Имеем
dad$dy = p(Ey а, b)dEdadb. (84.19)
р(?, а, b) называют плотностью состояний на интервал энергии, на интервал а, на интервал Ь.
А) Это не совсем точно, так как, согласно (84Л4), мы имеем дело лишь с приближением к б-функции, а не с самой 6-функцией. См. § 112.
366 ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. XIV
Подставляя это значение dadfidy в выражение для вероятностей (84.16) или (84.17) и интегрируя по Е, мы получим нуль, если интервал интегрирования не содержит точки резонанса, и конечное число, если содержит эту точку. Именно, из (84.16) и
(84.17) получаем
Рп (Е, a, b)dadb=Y | WEab, „ I2 Р (Е, а, Ь) da db, (84.20)
РаоРоТо (Е, а, Ь) da db ~ 2* | WEab, «.p.* I2 P (E, a, b) da db, (84.21)
причем здесь подразумевается то значение Е, которое следует из условий резонанса (84.18), или (84.18') соответственно.
В частном случае, когда за параметры а, Р, у взяты три компоненты импульса частицы рх, ру, ргч целесообразно рассматривать импульс конечного состояния в сферической системе координат р, б, ф. Тогда имеем
dpxdpydpz = p2 dp dQ, dQ = sin0d0d<p. (84.22)
Энергия частицы есть Е = так что р2 dp = P2% dE = [ip dE. Внося это в (84.22) и сравнивая с (84.19), находим
р(?, 6, ф) = р (Я) sin 0, p(?) = n/j = -2-(2ji)*/«F/«. (84.23)
Подставляя это в (84.20) и (84.21), находим
Р„ (Е, 0, Ф) dQ = ^ | Wm„,n |2 р (Е) dQ, (84.24)
Раоp„v. (Е, е, ф) r/Q = I wm,«.hv. I2 P (E) dQ. (84.25)
Эти формулы дают вероятность перехода в 1 сек из состояния п или а0, р0, То в состояние с энергией ?, причем импульс частицы попадает в телесный угол dQ.
§ 85. Переходы под влиянием возмущения, не зависящего
от времени
Если возмущение не зависит от времени, то мы можем искать
t
стационарные решения г|)(х)е h уравнения Шредингера и, следовательно, свести задачу к решению уравнения
Н°\|) (л:) + W (х) г|) (х) = Ety (х),
методы приближенного решения которого были уже рассмотрены. Однако можно ставить вопрос и в духе теории квантовых пере-
§ 85] ПЕРЕХОДЫ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ, НЕ ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 367
ходов. Обе постановки вопроса эквивалентно ведут к одним и тем же результатам1).
Чтобы получить вероятность перехода под влиянием возмущения, не зависящего от времени, достаточно в формулах (84.16) и (84.17) положить со = 0. Тогда условия (84.18) и (84.18') будут иметь вид
?(«. P. Y) = ?« или Е (а, р, у)=Е (а0, р0, у0), (85.1)
т. е. переходы возможны лишь без изменения энергии. Это следует из общей теории, так как энергия в рассматриваемом случае есть интеграл движения. Следовательно, переходы под влиянием возмущения, не зависящего от времени, могут быть лишь такого рода, что происходит перераспределение энергии между частями системы или изменяются какие-либо другие механические величины (например, направление импульса частицы).
В непрерывном спектре формула для вероятности перехода в 1 сек из состояния Е (а„, [}„, у0) в состояние Е0, a, a-\-da, b, b-\-db на основании сказанного получается прямо из (84.21)
9тг
^ooPoYo (?о. a, b)dadb = -j-\ WЕааь, a„p„Vo I2 Р (?о. «> b) da db, (85.2) и если взять за а, р, у импульсы, то
р* 4 №-' У ?> <«-т| »Ч.». ф. *л Г с №•» <«• <85-3)
Эти формулы совпадают по виду с (84.21) и (84.25) и отличаются от них лишь резонансным условием (85.1), выражающим закон сохранения энергии.
Заметим, что в случае не зависящего от времени возмущения не имеет большого смысла рассматривать переходы только между дискретными состояниями, так как условие равенства энергий начального и конечного состояний в этом случае может соблюдаться лишь в исключительных случаях.
г) Ср. § 112, где рассмотрено столкновение методом переходов, с § 78, где та же задача решена методом стационарных состояний.
Глава XV
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМНЫМИ СИСТЕМАМИ
§ 86. Вводные замечания
Вопросы, связанные с проблемами взаимодействия света и микрочастиц в их полном объеме выходят за рамки квантовой механики. Они не могут быть рассмотрены без привлечения дополнительных принципов, касающихся законов возникновения и исчезновения электромагнитного поля. Однако мы можем продвинуться довольно далеко, опираясь на полуфеноменологическую теорию излучения Эйнштейна, существенно базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии между квантовыми системами и полем электромагнитного излучения. В самом деле, поведение квантовой системы в заданном электромагнитном поле вполне входит в круг механических задач. Поэтому мы можем, пользуясь теорией квантовых переходов, вычислить вероятность того, что под влиянием падающего света атом перейдет в возбужденное состояние или, напротив, из возбужденного в более низкое. В первом случае энергия атома увеличится на величину Ет — Еп, если Еп — энергия исходного состояния, а Ет — энергия возбужденного, во втором — на эту же величину уменьшится. Рассмотрим сначала первый процесс.
