Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ограничимся первым приближением, то, как излагалось в § 68, нужно пренебречь матричными элементами энергии возмущения, относящимися к разным уровням невозмущенной системы. Так как у нас эти уровни нумеруются числами tu U /, то в нулевом приближении рассмотрению подлежат только элементы
WMjmj = WKlimr nlinf'. (74.9)
Пригодность такого приближения обеспечивается малостью магнитногр поля. Так как матричные элементы W т т' имеют
порядок величины то условие (74.7) можно, переписать
в виде
W .. .. ,
nljт., nljnij
р _____р
иnlj nljr
1, (74.10)
§7А] РАСЩЕПЛЕНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 309
что является как раз условием применимости теории возмущений. При этом мы взяли разность энергий в пределах мультиплета (разные / и /', по одинаковые п и /). Ясно, что для разных п и I (74.10) выполнено, если оно выполнено для одинаковых п и /.
На основании сказанного дело сводится к приведению матрицы Wщ.т' к Диагональному виду. Для этого выразим энергию возму-
где 0L есть частота Лармора. Рассмотрим теперь произведение s-/2. Эту величину можно- представить в виде
Пользуясь теоремой о сложении вращательных моментов, мы можем, согласно (64.9), переписать (74.12) в виде
Если мы возьмем теперь такое представление, в котором j2 есть диагональная матрица, то тогда (74.12') можно разделить на J2 (ибо диагональная матрица ведет себя как обыкновенная величина, а не как оператор). Поэтому в этом представлении из (74.12') получаем
случае, когда /=?*=/'.
Действительно, оператор Q может быть представлен в виде
щения W через проекцию Jz на ось OZ полного момента J. Имеем
SZJ2 —j; (sj) + Q,
Q = J г$х) Jx + (SzJ у J J у
(74.12)
(74.13)
sj2 = J, ~ (У8 — M2 + s2) + Q. (74.12')
и, следовательно, энергию возмущения W можно написать в виде
Матричные элементы оператора Q отличны от нуля лишь в том
Q УхJу Уу^х-
(74.15)
где
310
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
(индексы получаются циклической перестановкой). Пользуясь правилами перестановки компонент момента (§ 64), легко доказать, что
ЗхУх~\~ JуУуЛ' JгЧг = 0> (74.17)
Л-Тл- - Тл-Л = Л-Yi/- Y-уЛ = — «%•. «М’г - yj; = 0 (74.18)
(из последних равенств вытекают еще и другие путем циклической перестановки х, у, г). Если теперь взять три проекции орбитального момента Мх, Му, Мс и три координаты х, у, г, то нетрудно видеть, что для них имеют место совершенно аналогичные алгебраические равенства, именно,
Мхх + Муу + М,г - 0, (74.17')
MtCx — xMz = ihyi M,y — yMz = — ihx, М?г — гМг = 0. (74.18')
Сравнение (74.17') и (/4.18') с (74.17) и (74.18) показывает, что структура матриц Jx? J у, Jг в отношении уХ) уу, yz такова же, как и структура матриц Мх, Му, Mz в отношении матриц х, у, г. В § 90, Б показано, что единственные отличные от нуля матричные элементы х, //, г имеют вид xiti-и, yi,i± ь *i,i± i (где /~орбитальное число). Диагональные элементы ха, yih zn равны нулю. Но I есть как раз номер собственного значения Mj. Таким образом, диагональные матричные элементы х, у, г равны нулю в представлении, в котором Ж2 диагонален. Поэтому должны
равняться нулю и диагональные элементы уХ9 уу, yz в представлении, в котором J2 диагонален, т. е. матричные элементы
(yx)jrrij, jm'. == (Уу)jnij, ini'.=== 0, (Уг)/т., jm'. ~ 0* (74.19)
Так как, кроме того, JXi Jyj Jz коммутируют с J2, то их матричные элементы, не равные нулю, имеют вид
{Jx)jm.t jm'.* у)jm jm'.y {Jz)jm jm'.* (74.20)
Из (74.19) и (74.20) следует, что матричные элементы Q вида Qjmjf jm*. равны нулю (в чем легко убеждаемся, образуя Q из у
и / по правилу умножения матриц).
Таким образом, в интересующую нас матрицу возмущения,
элементы которой относятся к одному и тому же значению
полного момента /, оператор Q не дает никакого добавления.
Иными словами, все элементы матрицы Wm,m* образуются за
i i
счет части W, не содержащей Q, т. е. за счет оператора
r = 0jz(l + ^5±^J. (74.21)
§74] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 311
Так как Jz, Л12, s2, J2 коммутируют друг с другом, то их матрицы могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Вместе с тем приводится к диагональному виду и матрица
2%/2'
ZZPi/2'
!%/2'
V V
l=J,j-1/2,g=2/3
1=0, j =1/2, д-2
л-
А-
ЩяЗ/2
,тГ1/2
тГ1/2
¦mr-J/2
mfl/2
4-1/2
Рис. 55. Расщепление уровней 25,д, 2Р,д и 2Рз/г в слабом магнитном поле
оператора W' (с элементами W'njm'^- Чтобы получить ее диагональные элементы, достаточно подставить вместо Jz, Ж2, s2 и J2 собственные значения этих операторов. Имея в виду, что
(74.22)
Jг = Пт,-, Р - Щ (/ +1), М2 = ПЧ (I+ 1), \ s2 = n4s(ls+1), J
мы получаем
W’ = hOLmj( 1 +1 (/+-)~^ls (/* + 1)). (74.23)
Эта формула и дает расщепление в слабом магнитном поле квантового уровня, характеризуемого числами /, /; поскольку
речь идет об одном электроне, ls = у. Обозначая теперь поправку W' к энергии уровня Enlj через АЕПт., мы можем написать
(74.23) в виде
AEUm. = hOinijg, (74.24)
312 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XII
где g означает «множитель Ланде» и равен
(74.25)
Так как шу- пробегает все значения от —/ до + /, то, как видно из (74.24), каждый уровень Ещ, расщепляется в слабом магнитном поле на 2/+1 уровней.
