Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Кажется, что вообще было бы разумнее говорить не о принципе дополнительности, а о принципе «исключительности»: динамические переменные следовало бы разбить на группы взаимно исключающих друг друга переменных, не осуществляющихся одновременно в реальных ансамблях. Но из уважения к великому Бору и к установленной им традиции мы сохраним обычную терминологию.
Принцип дополнительности исключает возможность описывать микросистемы с помощью фазового пространства $l(p,q), так как оно содержит дополнительные переменные р и q. Однако этот принцип, как следует из его содержания, не запрещает пользоваться пространством конфигураций Й(<7) или импульсным пространством !К(р), каждое из которых содержит переменные только пространственные q или только импульсные р. Если система имеет f степеней свободы, то, в отличие от классической механики, она описывается / переменными или в пространстве конфигураций №(<?), или в пространстве импульсов 9i(p). Переменные q или р образуют так называемый полный набор переменных.
31
Точнее, мы определим полный набор динамических переменных, достаточный для исчерпывающего описания квантовой системы с / степенями свободы, как совокупность f одновременно измеримых и независимых переменных qu q2, . ¦— пространственный набор q или альтернативный, импульсный набор р: pi, pz, • •Pt• Такой набор динамических переменных, как следует из его смысла, содержит максимальную информацию о системе, совместимую с законами, господствующими в микромире.
Соответственно этому в квантовом ансамбле существует вероятность
найти при измерении определенное значение этого набора величин q. Индекс М, которым мы снабдили эту вероятность, имеет тот же смысл, что и индекс 0 температуры у вероятности (3.1) в классическом ансамбле Гиббса; он указывает ту макроскопическую обстановку М, которая диктует условия движения для микросистемы ц и тем самым определяет ее состояние.
Мы вправе также поставить вопрос о вероятности то"о, что микросистема, принадлежащая тому же ансамблю, будет иметь то или иное значение дополнительного набора р. Эта вероятность может быть написана в виде
Вероятностей типа (4.3) или (4.4) должно существовать не мало, в принципе неограниченно много, столько, сколько возможно различных полных наборов q или сопряженных им наборов р.
Заметим, что практически для каждой реальной системы число наборов ограниченно тем, что большинство из них попросту не очень удобны для описания системы. Однако это уже чисто практический вопрос. Итак, вероятностей типа (4.3) и (4.4) может быть неограниченно много. Их совокупность полностью характеризует состояние микросистемы в квантовом ансамбле, так как эта совокупность по самому своему смыслу исчерпывает все предсказания результатов
WM(q)dq
(4,3)
WM(p)dp.
(4.4)
32
всех возможных измерений над микросистемой,- принадлежащей данному ансамблю (УИ + ц).
Но как перечислить всю эту совокупность вероятностей, включая и неудобные для практических целей? Если бы мы нашли такую возможность, мы нашли бы способ описать состояние микросистемы в квантовом ансамбле!
Квантовая механика дает на этот вопрос совершенно неожиданный (с точки зрения классической теории) ответ: существует величина, характерная для данного ансамбля (М + ц), которая полностью характеризует квантовый ансамбль в том смысле, что, зная ее, можно вычислить все возможные вероятности типа WM(q) или WM(p). Эта величина есть волновая функция
¦фм = ,фм-(<7)- (4.5)
В формуле (4.5) волновая функция *}>м записана явно в виде функции координат q. В этом случае связь между волновой функцией и плотностью вероятности дается формулой
«М<?) = 1'М<?)12- (4.6)
Эта формула является совершенно общей в том' смысле, что если волновая функция г{>м дана как функция любого другого полного набора переменных, например Iрм(р), то плотность вероятности найти набор переменных р равным р, будет
(4-6*)
Вообще для полного набора переменных а будем иметь:
WM(a)=:\$M(a) I*. (4.7)
для набора Ь
ФМФ)=*\Ъит (4.7*)
и т. д. Все эти функции г|>м(р), 4’м (а), (Ь),...
описывают один и тот же квантовый ансамбль, характеризуемый макрообстановкой М и микросистемой [*.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, относительно этих волновых функций говорят, что волновая функция дана в ^-представлении, или в р-представле-нии, или в a-представлении и т. д.
3 Д. И. Влохинцев
33
Математически эквивалентность волновых функций, данных в различных представлениях для описания квантового ансамбля, выражается в том, что волновую функцию г|)м можно рассматривать как вектор в гильбертовом пространстве, а различные представления — как представление вектора в различных системах ортов, т. е. ортогональных единичных векторов в этом пространстве, линейная комбинация которых позволяет представить любой другой вектор [2].
В таком понимании переход от одного представления волновой функции к другому есть вращение в гильбертовом пространстве. Это вращение осуществляется посредством унитарной матрицы S, так что
Ч>л(*) = *Ма). (4.8)
причем
SS+ = 1, (4.9)
где S — матрица, сопряженная с S. В раскрытом виде соотношения (4.8) или (4.9) гласят:
