Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
понимания принципа причинности следует, что последующее состояние ансамбля также должно определяться этой же волновой функцией. Обозначим волновую функцию в момент времени t через г|з. Тогда приращение этой функции за время dt должно выражаться через саму функцию г|з. Далее, так как волновая функция определена, по самому своему смыслу, только с точностью до произвольного множителя N, так что \|э и \|/=М|) изображают одно и то же состояние (для нормированной функции этот множитель по модулю должен быть равен 1, т. е. N = eia, где а — произвольное действительное число), то связь между и я|) должна быть линейной. Стало быть:
dy=^\|), (6.1)
где „2*—некоторый линейный оператор. Если обозначить волновую функцию в момент времени t+dt через = то предыдущее соотношение можно
записать в виде:
i|/=S(d/)i|5,
где S(dt) означает некоторую матрицу, преобразующую if в \j/. Ввиду сохранения [ \ty\2dq эта матрица
46
должна быть унитарной, т. е. S+(dt) =5*{dt) =S_I (dt). Полагая S— 1 + J?dt + ..., мы находим, что
J3? =—гДе оператор &6 является уже эрмитовым 06* — 36+ = 36), а постоянная Планка h введена в качестве множителя из соображений размерности и соответствия с классической теорией. Оператор 36 по самому своему смыслу является оператором смещения во времени и называется оператором Гамильтона. Если оператор 36 не зависит от времени, то он является попросту оператором энергии микросистемы.
Из сказанного следует, что уравнение для изменения волновой функции во времени должно быть записано в виде:
= (6.2)
Это и есть знаменитое уравнение Шредингера, выражающее причинность в квантовой теории. Так как волновая функция полностью описывает квантовый ансамбль, то можно сказать, что уравнение (6.2) описывает движение квантового ансамбля и притом причинным образом, т. е. так, что предыдущее во вре-
мени состояние ансамбля определяет его последующее состояние.
Заметим, что уравнение для сопряженной функции г)з* имеет вид:
_ ih (6.2*)
и если36* = 36, то
(6.2**)
Вместо дифференциального уравнения (6.2) можно написать соответствующее ему интегральное уравнение. Это может быть сделано с помощью функции Грина для системы невзаимодействующих частиц. Суть дела заключается в том, что функция Гамильтона обычно может быть представлена в виде суммы оператора кинетической энергии частиц Т и оператора взаимодействия этих частиц между собой и с знешними полями V. В декартовой системе координат
47
оператор Т имеет особенно простой вид:
Г== -S —(-^Т+Г7 + "^’ (6-3>
f^2ms\dxs ду] дг])
где ms — массы частиц, xs, ys> zs—их декартовы координаты, s = 1, 2, ..., N ()V—число частиц в системе). Функция Грина © по определению есть решение уравнения Шредиигера с правой частью, носящей характер импульсного источника в точке х=х' и в момент времени t = t':
ih^—T® = --b(t — t')b(x — x') (6.4)
и равна нулю для t<t'*).
Это уравнение совпадает с уравнением диффузии в многомерном пространстве с мнимым, однако, коэффициентом диффузии и с импульсным источником частиц в точке х=х', t = t'.
Решение этого уравнения имеет вид:
©(•*-*', t — =
N J ms (xs - x'sf
II
\ih (t - t')]N/2 и
®(x~x', t — t') = 0 для t'>t. (6.5*)
Интересующее нас уравнение Шредингера (6.2) может быть переписано в виде:
1ьт^П. _Т(х')$(х', t')=V(x’, 6.2***)
Умножая (6.4) на V(x', t')-§(x',t') и интегрируя по х' и находим, что искомая функция \|)(x, t) удовлетворяет интегральному уравнению i|)(X 0 — 0 +
-Ъ J ®(х — х', t — t') V (х', t')ip(x', t')dx'dt', (6.6)
где i|3o(a:, () есть решение свободного уравнения, т. е. уравнения при К=0.
Из этого уравнения видно, что если в какой-либо точке пространства х’ в момент времени t' произошло
*) Здесь под х и х' мы разумеем всю совокупность коорди-
нат частиц, так что б(х—х') есть ЗМ-мерная б функция.
48
изменение волновой функции bty(x',t') или взаимодействия bV{x',t') и если момент времени V является более поздним (г>/)> то влияние этого события на состояние ансамбля, т. е. на волновую функцию tp(x, t), равно нулю: иными словами, влияние на состояние в момент времени имеют только те события, которые происходят ранее t, при V < t.
Заметим, что уравнение (6.2) позволяет не только определить по данному состоянию ближайшее будущее состояние, но и ближайшее предшествующее. Для этого достаточно считать, что dt < 0. Соответственно этому наряду с «запаздывающей» функцией Грина (6.5) можно рассматривать и «опережающую» функцию Грина:
Эта функция позволяет определить состояние в прошлом. Такая возможность связана с обратимостью квантовой механики во времени.
Рассмотрим теперь, как выглядят уравнения движения для смешанного ансамбля, описываемого матрицей плотности р(<?, q').
Дифференцируя (5.3) по времени (при этом предполагается, что условия, определяющие смесь, остаются неизменными, так что Ps=const), получаем:
и, пользуясь уравнением (6.2) и сопряженным ему (6.2*), найдем:
Ф(?¦ О _
t — *') =
N
Т-i ih {t “
e2ihV-t’) дЛЯ I'-у t (6.5**)
и
S
(6.7)
dt
S р*. ib \- *Wm. <*о ч {q)+Ч{q,) т*. (<7)1’
(б.?*)
4 Д. И. Блохиндев
