Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В случае чисто изотопического дефекта матрица возмущения имеет вид
Поэтому секулярное уравнение имеет размерность 3X3 и содержит только х, у, 2-компоненты смещения дефекта:
В случае кубических кристаллов мы можем упростить выражение для функции Грина (33.20), входящей в (33.25):
¦Функция Ga3(0|co) преобразуется при поворотах как симмет-
СаS1 1, ) = - (/) (33.24)
\ % )( /
||M08x(/)co2Gap(0|o) + 6ag|| = 0.
(33.25)
Здесь мы считаем, что примесь находится в узле
238
Глава 4
ричный тензор второго ранга и в случае кубической симметрии имеет только одну независимую компоненту
Gxx (0 | со) = Gyy (01 (о) = 0М (0 | со). (33.27)
Этот результат следует также из второго условия ортогональ-
ности (33.7) при суммировании по ц. Тогда (33.26) принимает вид
к(.|‘)Г
Д«(°1»)-тагЕ Wl')-.' '• (33.28)
11
В случае одноатомного кубического кристалла с равными мае* сами (например, алмаза) и эквивалентными узлами из (33.6)
I ( I k М2
следует еа1 0 . I —1/3г, так что функция Грина упро-
I \ I Уц / I
щается и принимает вид
g-(oi»)-^z ¦ <зз-29>
»i
Тогда секулярное уравнение для возмущенных частот (33.25) распадается на произведение трех тождественных диагональных членов (каждый из которых должен обращаться в нуль), дающих трехкратно вырожденный корень
'+w? -<»ii)-<,.“°- <33-30»
*/
Это уравнение определяет собственные частоты возмущенной решетки.
Важное значение имеют также собственные векторы, кото* рые, согласно (33.21), определяются выражением
|А\ . / |А'
р V У? ) Н Ll со2 (* I /) - о2 А
t/xa
х (е* Viv) ^e~ik'Rl'w- (°)- (33-31)
Это выражение дает отношение амплитуд в узле и в на-
чале координат.
Уравнения (33.30) и (33.31) впервые были подробно рассмотрены и численно решены для случая изотопического дефекта в кремнии в работе Даубера и Элиота [137]. С тех пор были изучены многие случаи, включая изолированные дефекты в кристаллах более низкой симметрии, пары дефектов в кубических кристаллах и т, д. [133], Эта важная область исследова*
Оптические свойства, кристаллов с нарушенной симметрией
239
ний нашла отражение также в трудах нескольких конференций последнего времени [126—130].
Для наших целей достаточно того факта, что этот подход дает динамическое обоснование сделанных в § 31 и 32 утверждений о свойствах симметрии, касающихся, в частности, отнесения локальных колебаний к типу Г<1,) и связи между зонными колебаниями неидеального и идеального кристаллов путем подчинения представлений. В общем случае для легкой цримеси е >0 в (33.14) среди собственных частот и векторов уравнения (33.30) имеется решение, соответствующее локальным колебаниям, тогда как для тяжелой примеси могут возникать резонансные колебания. В обоих случаях нарушение симметрии допускает существование также квазиконтинуума колебаний, эквивалентного колебаниям идеальной решетки.
§ 34. Инфракрасное поглощение в возмущенной системе
Теорию инфракрасного поглощения света фононами в идеальном кристалле, изложенную в § 2, можно применить и к случаю кристалла с дефектами. Мы рассмотрим только случай изолированного точечного изотопического дефекта, обсуждавшийся в § 33. Основное, что нам понадобится при этом из § 2,— полуклассическая теория излучения, которая позволит ввести оператор момента, аналогичный (2.33), хотя, разумеется, трансляционная симметрия (периодичность) оказывается нарушенной. Тогда можно ожидать, что вероятность перехода с поглощением инфракрасного света будет пропорциональной матричному элементу типа (2.34). Мы можем также ожидать, что локальные колебания (если они существуют) и зонные колебания будут активны в инфракрасном поглощении, если они обладают симметрией Г<1,), необходимой для взаимодействия с электромагнитным полем. Перейдем к краткому изложению теории.
Рассмотрим процесс оптического поглощения, в результате которого кристалл совершает переход из основного колебательного состояния |g> в некоторое возбужденное колебательное состояние |е>. Возмущение, вызывающее этот переход, в полу-классическом приближении имеет вид
Ж = Ц • А яа S’fi • г,
тс тс ^ ’
где е — вектор поляризации электромагнитной волны, а ц — соответствующий дипольный момент. Матричный элемент перехода
М ~ (е| и • е | g). (34.1)
Оператор ц преобразуется как полярный вектор:
ц - Г№, (34.2)
240
Глава 4
поэтому на основании теоремы Вигнера — Экарта заключаем, что одноквантовый переход из начального (основного) состояния симметрии Г(1+) разрешен в любое возбужденное состояние симметрии Г(0). Например, в неидеальных кристаллах с пространственной симметрией алмаза и каменной соли колебания симметрии Г(15-) являются активными в инфракрасном поглощении. Отсюда на основании результатов § 31 и 32 заключаем, что локальное колебание в случае изотопического дефекта замещения должно проявляться в спектре. Активными будут также зонные колебания, принадлежащие к Г(15_). Так как зонные колебания по существу образуют сплошной спектр, то выделение из континуума всех состояний симметрии приводит
к появлению некоторого весового множителя.
Количественная теория подтверждает эти соображения. Предположим, что изотопический дефект заряжен, а все атомы матрицы нейтральны. Пусть и(0) — вектор смещения примеси, расположенной в начале координат в возмущенном кристалле. Тогда дипольный момент, индуцируемый колебаниями, равен
