Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
{p* 1 T, T + tXy} (Oy ! t + tyz, T + tzx) C,s 0 0 1 0
IP» | т, T + txyS {Ojc I T + tyz, T -!- tzx) Ci4 0 0 1 0
р(Ь\) р(Е)
’) См. работу [71].
*) е^ = (0-,0, 1), (Ь Ь 0)» EQi,==n> —1> 0). Эти векторы образуют ортогональную триаду.
•V*)2)
172
Глава 3
группы D2d операторы ez ¦ V* преобразуются по одномерному представлению В2 группы D2d (в стандартных обозначениях, см. [68]), а совокупность (eQj • Vftl e(?,-V*.) — по двумерному представлению Е. Как указывалось выше при изучении точки Х\, для этих представлений можно использовать псевдо-Г-обо-значения, что и сделано в нижней части соответствующих столбцов табл. 33, где они обозначены Г(Вг) и Г(е). Перемножая представления и вычисляя результат, мы находим, что как для представления W\'\ так и для №(,2) градиент обращается в нуль в направлении, параллельном Z, но отличен от нуля для двух ортогональных направлений Q. Так как колебания D(W,) и D(lVi)(2) двукратно вырождены в точке Wi и вдоль Z, но расщеплены вдоль Q, то ясно, что все ветви имеют в двух направлениях разрыв первой производной, т. е. jx = 2. Предполагая, что все ветви ведут себя аналитически (в отличие от точки X), мы находим с помощью фиг. 5—8 тип точки; результаты помещены в табл. 31.
Линия 2. Рассмотрим далее линию 2. Из табл. 34 мы устанавливаем, что в направлениях, перпендикулярных 2, все ветви имеют нулевой наклон. Хотя приведен только случай 2 = = (я, я, 0)1 /а, результат остается в силе для всех точек на линии 2. Изучая далее поведение дисперсионных кривых вдоль 2, мы можем установить наличие дополнительных критических точек в каждой ветви. Другое дело — определение индексов этих точек; для этого требуется детальная топологическая информация, которую можно получить только численными расчетами.
Таблица 34
Критические точки в алмазе в окрестности 2, = (я, я, 0) (1/а) •)
Класс s(l) lf> y<3) n v(4) vv Vv e • V Z V
с, {е 1 0} 1 1 1 1 1 1 1
с2 {р *01°} 1 -1 1 -1 1 -1 1
с3 {Pzl *1} 1 -1 -1 1 1 1 -1
с4 ху 1 Tl! 1 I -1 -1 1 -1 -i
Все ветви имеют нулевой наклон в направлениях, перпендикулярных линии 2. Ортогональная триада выбрана в виде где 2®=(Я, я, 0), Е'=(я, —я, 0), Z = (0, 0, 1).
*) Представления обозначаются согласно работам Бирмана [22] и Костера 194].
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 173
Для Si и Ge (фиг. 6 и 8) мы следуем Джонсону и Лаудону [91] и воспроизводим здесь их результаты. Ветвь ТО\ в Si имеет одну критическую точку вблизи X и вторую (сингулярную?) критическую точку, обусловленную пересечением (случайное вырождение). Следуя работе [91], мы интерпретируем эти точки как Р2 и Рi(l) соответственно, хотя вторая точка, возможно, принадлежит к типу /7i(l). Вторая ветвь Т02 также содержит критическую точку, обусловленную пересечением, и, кроме того, минимум. Эти точки суть Рг(1) и Рь как и раньше, остается открытым вопрос о сингулярности в области пересечения. Продольная оптическая ветвь (S3) в Si имеет глубокий минимум (фиг. 6), классифицируемый как Рь но в Ge не содержит критических точек (фиг. 5, 8). Следующая ветвь LA(Si) не содержит критических точек для Si и Ge. Из поперечных акустических ветвей первая ТА 1 (S3) имеет для Si максимум типа Р3 (то же предполагается и для Ge), тогда как вторая ветвь ТА2 (Е4) не содержит критических точек.
Дисперсия в алмазе вдоль линии 2 существенно иная, что обусловлено главным образом другим порядком состояний в точке X. Информация, приведенная на фиг. 7, недостаточна для определения индексов критических точек; поэтому мы просто перечислим сами критические точки на каждой ветви. Ветвь ТО 1 (Si (О)) имеет максимум Р/, а ветвь Т02 (S2(0))— сингулярную точку пересечения Р/(1). Ветвь LO (S3(0)) имеет резко выраженный минимум Р;- плюс пересечение Р/ (1). Следующая ветвь LA (Si (Л)) имеет две точки пересечения Р/(1) и Р/'(1) и максимум Pi". Ветвь TAX (S3(/4)) содержит точки Р/(1), Pj’ (1); наконец, самая нижняя ветвь ТА2 ие содержит критических точек.
Линия Q. Можно показать (табл. 35), что компоненты градиента обращаются в нуль в направлениях, перпендикулярных линии Q, однако для определения дополнительных критических
Таблица 35
Критические точки в алмазе в окрестности Qf = ("<<, я, 2я — х) 1/а
Класс О1,1’ 0{2) Q * ft 1 Vft
{е | 0} 1 1 1 1
{62д:г 1 Ti) * 1 -1
Производная отлична от нуля только для продольной компоненты градиента вдоль линии, проходящей через все другие компоненты обращаются в нуль.
174
Глава 3
точек снова необходимо обратиться к анализу дисперсионных кривых. Даже при отсутствии случайного вырождения для ветвей и Q2 вдоль всей линии Q, должно быть по крайней мере несколько критических точек на кривых, соединяющих TO(L) и TO(W), а также TA(L) и TA(W). Для Si и Ge мы снова следуем Джонсону и Лаудону [91]. В случае алмаза возникает дополнительная неопределенность из-за отсутствия вычисленных или измеренных частот на линии Q. Мы просто повторяем здесь условно ту же интерпретацию (подлежащую
Фиг. 9. Типы особенностей функции распределения частот, обусловленных критическими точками Р) (п), / = 1, 2, 3; п = 0, 1 [91].
