Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Фю = (®4 г) у X Z
ф1 1 = Р ху У X Z
*Pl2 = Р ху X у Z
Ф13 = Р хг 2 у X
Я>14 —Р *z Z у X
Ф16 =“ Руг X Z у
‘Pie = Р уг - X Z у
<Pi7 = 63 хуг У Z X
<9\ъ = (&гхуг) Z X у
= б3 хуг 2 х у
Ф20 = (63 хуг) у Z X
Ф21 “ (63Хуг) Z X у
Ч>22 “ (63хуг) У Z X
Ф23 “ 63ху2 2 х у
Ъ^РзхдгГ1 у Z X
Элемент {ф | т,} для алмаза, элемент {<Р|0} для NaCl
Ф25 = i хуг
Ф26 = р* X у t
Ф27 = Ру хуг
Фгв — Рг х у 2
ф,9 = 64Л х 2 у
фзо = (bix)~l х z у
ф31 = 641/ Z у х
Фз2 = (б4г/)“1 2 у х
фзз = 643. у X Z
Ф34 = (&4г) 1 У X Z
Фз5 = &2ХУ У х 2
Фзб = 62 ху У х 2
Ф37 = &2XZ г д х
Ф38 = S2xz г д х
Фзэ•= ®2уг х г у
Ф40 = Ь2у2 X г у
Ф 41 —Явхуг д г х
Ф42 == (Об хуг) 1 г х у
Ч)43 = ff6 хуг г х у
^44 = (а6хуг) 1 У г х
Ч)45 ~ абхуг г х у
Ф46 (авхуг) У Z X
%7 = 06хуг г х у
*Р48 = (06хуг) 1 У 2 х
*) Для структуры алмаза и каменной соли начало координат выбрано в узле, занятом атомом [64].
104
Глава 2
Чтобы полностью определить рассматриваемые пространственные группы, необходимо перечислить представителей смежных классов. Для решетки каменной соли это сделать не-
Фиг. I. Элементарная ячейка кристаллов со структурой каменной соли [65].
трудно, поскольку группа симморфна. Набор представителей смежных классов в этом случае имеет вид
{е I 0}, {ср| 0>, ..., {(р48|0}, (8.4)
т. е. в разложении по смежным классам
{е]0}2, {Ф | 0} ?..........{ф48|0}2 = о! (8.5)
ни один из элементов пространственной группы не содержит нетривиальных трансляций. Таким образом, набор представите-
Фиг. 2. Элементарная ячейка кристаллов со структурой алмаза [65].
лей смежных классов сам образует точечную группу Ой. Другими словами, группа 0\ = Fm3m представляет собой расщепляемое расширение ? при помощи группы Он (т. 1, § 8),
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
105
В случае пространственной группы алмаза 0\ поворотные элементы левого столбца табл. 2 образуют группу, изоморфную точечной группе Td, и являются представителями смежных классов, не содержащих нетривиальных трансляций, а остальные 24 элемента включают одну и ту же нетривиальную трансляцию Ti = (1,1, 1) а/4. Таким образом, разбиение группы на смежные классы в этом случае имеет вид
{е|0}г, {ф241 0} St,
{<|т,}2, {ф481 т(} Ж.
Очевидно, этот набор представителей смежных классов не является замкнутым -по отношению к умножению. Следовательно, группа 0?h = Fd3m есть более общее, а именно, центральное расширение ? при помощи Oh (т. 1, § 9). Однако набор первых 24 представителей из (8.6) образует пространственную группу Та = F43m.
Элементарные ячейки кристаллов каменной соли и алмаза показаны на фиг. 1 и 2.
§ 9. Неприводимые представления группы 0\
Наша первая задача — выделить набор всех волновых векторов внутри и на поверхности первой зоны Бриллюэна, необходимых для построения звезды волнового вектора, а затем— полных неприводимых представлений. Первая зона Бриллюэна для группы ? показана на фиг. 3.
Очевидно, имеется большое число волновых векторов, расположенных в точках высокой симметрии, на осях или в плоскостях симметрии. Эти векторы перечислены в табл. 3. При этом выбран один вектор из каждой звезды и его координаты выписаны в явном виде. Согласно определению, данному в т. 1, § 32 [см. (32.10)], этот вектор является каноническим волновым вектором своей звезды. Изучения фононов, симметрия которых задается векторами (и их звездами), соответствующими критическим точкам, оказывается достаточно для объяснения основных экспериментальных результатов по инфракрасному поглощению и комбинационному рассеянию света в совершенных и несовершенных кристаллах (см. гл. 3 и 4).
Следующий шаг нашей программы — определение пространственной группы каждого из канонических волновых векторов k. Поскольку группа 0\ симморфна, ясно, что все ее подгруппы, являющиеся частными группами волновых векторов ®(k), также симморфны. Следовательно, в каждом случае фактор-группа любого k
®(k)/l = K(k) (9.1)
106
Глава 2
является точечной группой, представляющей собой подгруппу Поэтому достаточно перечислить все необходимые точечные группы и их неприводимые представления для каждого канонического волнового вектора k.
Выписав неприводимые представления всех точечных групп $(&), мы получим матрицу блока (11) полной матрицы неприводимого представления ?)(**) (т>. После этого легко с помощью (т. 1, 36.14) или соответствующего уравнения для характеров (т. 1, 37.3) получить систему характеров неприводи-
Фиг. 3. Зона Бриллюэна для гранецентрированной кубической группы трансляций [66].
мых представлений полной группы для любого элемента группы @.
Для иллюстрации рассмотрим для решетки каменной соли [66, 67] вычисление системы характеров неприводимых представлений полной группы, соответствующей звездам Г, *Х, *L. Благодаря особым свойствам правил отбора для этих звезд оказывается возможным изучить целый ряд процессов, используя только эти системы характеров. Для изучения оптических процессов, связанных с другими звездами, канонические векторы которых перечислены в табл. 3, нам понадобятся при вычислении различных матричных элементов также полные матрицы этих неприводимых представлений. Для таких случаев мы представим результаты в форме таблиц правил отбора.
