Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
х(**)(/>({ф|*}== ? d?)li).
(сг, ц)
(ст. и)
(117.19)
Обозначим
(Е4оИ/>)3»^.
(117.20)
374
Глава 11
Это, очевидно, симметризованный полином третьей степени. Еще одним линейно-независимым полиномом является произведение
( Z 40> <Л) ( ? 4а) ШУ = Р* (117.21)
Наконец, последний полином
? (d{a)U)f = P3. (117.22)
ОЦ
Согласно (117.18), характер симметризованного куба имеет вид
Х(*А)ш({<р1*})(3)= Г игл)3 +
(перест)
+ I! (d<0)</))2(4')(/>)+ Г (40)</))(йГ<л)(^)(П). (П7.23)
(перест) (перест)
Задача, которую надо решить, состоит в определении такой линейной комбинации (117.21), (117.22), которая равна полиному (117.23), т. е. в нахождении таких констант Сь С2, С3, что
С\Р\ + С2Р2 + СгРъ = Ы*к) {т) ({ф I *})]з- (117.24)
Из первого члена (117.23) получаем
Ci + C2 + C3=L. (117.25)
Сравнивая члены в разложениях (117.20) —(117.22), находим
Ci=4- С2 = Т’ C3 = J- (117-26)
Тогда
<'") «ФI *})]<3) = J {[x(*ft) <m) ({ф1 t})T +
+ ({tp 10) x<**> (m) ({cp I f}2) + 2x(**} <m) ({ф I f}3)}. (1,17.27)
Процедуру, приводящую к (117.27), можно продолжить и преобразовать общее выражение (117.18) к сумме произведений характеров, относящихся к отдельным элементам, точнее, произведений характеров либо данного элемента {ф[<}. либо его степеней. Основная теорема, которая может быть при этом использо-BaHai, состоит в том, что симметризованный полином можно записать как суперпозицию основных «элементарных» полиномов [106] одним и только одним способом. Этими основными элементарными полиномами являются полиномы Pj, перечисленные выше как Рь Р2, Рз• Обобщение (117.27) на симметризованную п-ю степень можно получить таким же способом; по сведениям автора, это еще никем не было сделано. Связанный с таким рассмотрением другой метод использовал Тисца [107]. Он привел
Симметрия и квантовая динамика решетки
375
к рекуррентным соотношениям для симметризованных степеней представлений.
Еще один метод основан на свойствах симметрической группы [49]. Так как мы не изучаем здесь симметричную группу, не будем приводить детали доказательства и просто выпишем результат. Характер {(р|0 для симметризованной п-й степени произведения матриц равен
ы**>« ((,io)],^E(/,,W(if'n")r-G(,,,';’(,T',i^v.
^ г,!(?!) 1 ... rv!(9v)rv
(117.28)
Сумма в (117.28) берется по всем возможным распределениям числа п, таким, что
я = П<71 + ••• (117.29)
где г/ и qj — целые числа.
Это и есть решение задачи, поставленной в начале этого параграфа. Ясно, что (117.28) и (117.29) применимы к каждому конкретному распределению для симметризованной цепочки сомножителей (117.1), связанной с некоторым неприводимым представлением ?)(**)(/>. Прямое разложение (117.28) при п — 3 совпадает с результатом (117.27), полученным прямым вычислением.
Вычисление симметризованного квадрата и других степеней неприводимых представлений пространственных групп методом малой группы исследовали Брэдли и Дэвис [110]. Вследствие эквивалентности методов подгруппы и полной группы для получения и приведения произведения представлений (§ 64) метод малой группы можно применить для приведения любой обычной или симметризованной степени представлений. Чисто практические сображения могут заставить отдать предпочтение тому или иному методу. Однако на сегодняшний день, по-видимому, лишь метод полной группы уже применялся для приведения симметризованного куба представлений.
§ 118. Преобразование собственных функций колебаний решетки: результаты и некоторые обобщения
Подведем итоги. Результаты последнего параграфа показывают, что симметризованное произведение собственных функций
f? (**/) exp - ( ? ) j Д Hnaj]l ( Ya,<7 ( <118.1)
преобразуется при преобразованиях операторов пространственных групп как симметризованная n(*hj) степень ?>(**)(/>,
376
Глава И
В (118.1) все координаты относятся к пространству, в котором задано /)(**)(/); n(*kj)— полное число квантов во всех состояниях этого представления. Это представление можно обозначить
[О'**’018.2)
Полная волновая функция (116.3) преобразуется по представлению
[?>(**)</>](„) ® [Д(**')(Л](П0 ® ... ® [?>(**") (П]м, (118.3)
где
n==n(*k,j), n' = n(*k,j') и т. д.
являются полными числами квантов для определенных групп вырожденных осцилляторов. Представление (118.3) является,' вообще говоря, приводимым к сумме неприводимых представлений. Процедуру приведения можно записать так:
[0<*‘>">]в>'»]«.)® ...
= 42„(Геды ... | **"'/'") (118.4)
где (•. • [*k"l"\n") | — соответствующие коэффи-
циенты приведения, которые можно получить методом, изложенным в § 52—60.
Согласно лемме о существенном вырождении, каждое состояние в неприводимом представлении справа в (118.4) должно рассматриваться отдельно; тогда соотношение (118.4) дает правила-отбора для физических процессов инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света.
При обсуждении многофононных процессов в т. 2, гл. 3 мы рассмотрим это соотношение.
Можно сделать замечание о дополнительной симметрии, возникающей из-за того, что гармонический гамильтониан (114.8) разбивается на подгруппы гармонических гамильтонианов, относящихся к вещественным нормальным координатам (s-//)-мерного неприводимого векторного пространства ?(**)</>. При этом мы должны рассматривать (s-//)-мерный изотропный гармонический осциллятор для каждого такого векторного пространства. Группа симметрии (s-//)-мерного изотропного осциллятора независимо от рассматриваемой физической пространственной симметрии, является группой SU^i}), т. е. специальной унитарной
