Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
‘) С другой стороны, величина 250 атмосфер, которую часто приводят, является, по-видимому, неправильной; см. [17], гл. XV. § 3.
х
а
Рис. 21. Подъем плоского
6
пузырька в канале.
§ 52. Неустойчивость по Тейлору
107
нию). Тогда, что почти очевидно, потенциал скоростей
^=>Ип(-гЬг)- А = ^Г (32)
характеризует источник нужной интенсивности при t = 0, стоки равной интенсивности при / = ± 1 (ooi и оо2); границы области Г переходят в линии тока.
Что касается сопряженной скорости ?(/), то мы учитываем ее нули и бесконечности в области Г подстановкой, аналогичной подстановке Леви-Чивита (19):
С = (!+/*)[— In С(1 — /2)]V('-C), 0 < С < 0,5. (33)
Как и раньше, из принципа симметрии Шварца следует, что функция й (<, С) регулярна в единичном круге |/| < 1 и ее ряд Тейлора
2(/, C) = a0(C) + a2(C)t*+aA(C)t*+ ... (33')
суммируется по Абелю при f = 1.
Остается удовлетворить условию |?|2 = 2gy на поверхности раздела, т. е. уравнению Бернулли для свободной границы в стационарном несжимаемом невязком течении. Это условие эквивалентно нелинейному интегральному уравнению относительно неизвестной функции
Х(о) = — 1ш {2(/, С)} = — 2а, sin 2о — 4a4sin4e— ... ,
которая определяется коэффициентами ряда (33').
Это интегральное уравнение аналогично уравнению (25), но более сложно. Найти его приближенное численное решение ока-залось трудным делом. Вычисления привели к выводу1), что «о iVgd =0 ,23 ± 0,01, что вполне хорошо согласуется с немногими имеющимися экспериментальными данными 2).
§ 52. Неустойчивость по Тейлору
Когда р' > р, гравитационный член в формуле (13), очевидно, вызывает неустойчивость. Эта неустойчивость просто-напросто такая же, как у воды в ведре, перевернутом вверх дном!
Так как поступательное движение области с ускорением а оказывает действие, эквивалентное3) наложению поля тяготения
') Birkhoff G., Carter D„ /. Rat. Mech. Anal., в (1957), 769— 780; см. также Garabedian P., Proc. Roy. Soc., A241 (1957), 423—431.
*) H. E. Жуковский в [23*] получил точное решение подобной задачи — Прим. ред.
*) Synge J. L., Griffith В. A., Principles of Mechanics, 2-е изд.. McGraw-Hill, 1949, $ 53. ’
108
Гл. ///. Струи, следы и кавитация
g =* —а, то в ускоренном течении предыдущий результат можно интерпретировать следующим образом. Плоская поверхность раздела двух жидкостей с плотностями р, р' неустойчива, когда имеется ускорение, направленное от более легкой жидкости к более тяжелой. Такая неустойчивость называется неустойчивостью по Тейлору ').
Двумерная неустойчивость возмущений первоначально плоской поверхности раздела адекватно описывается формулой (13), пока амплитуда возмущений остается бесконечно малой. При начальных синусоидальных возмущениях наиболее заметным признаком нелинейной тейлоровой неустойчивости является возникновение закругленных на концах столбиков, разделенных падающими струями. Любопытно, что наличие этих столбиков приближенно согласуется с тем анализом подъема плоских пузырьков, который кратко изложен в § 51.
Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии (§ 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С)!) Рэлей2) получил простые дифференциальные уравнения для радиуса b(t) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра рн(совф), то можно показать, что амплитуды возмущений й/, (t) удовлетворяют уравнению
bb„+3b6h — (h — \)bbh = 0. (34)
(Это уравнение отличается от уравнения (13) для плоского случая членом 3bbh.) Пузырьки, возникающие при подводном взрыве, сначала чрезмерно расширяются, когда вода выталкивается наружу, а затем снова сужаются примерно до начального радиуса.
Вблизи минимального радиуса происходит резкое замедление течения внутрь пузырька, т. е. происходит ускорение в направлении более плотной жидкости. Это, очевидно, делает сферическую поверхность раздела неустойчивой по Тейлору,— обстоятельство, которое очень ослабляет последовательные пульсации пузырька.
Случай пузырька, заполненного паром и сжимающегося «в точку», как предполагается при идеализированной кавита-
') Так как впервые ее физическое значение выяснил Тейлор; Ргос. Roy Soc., А201 (1950), 192—196. Дальнейшие разъяснения и литературу см. в [171, гл. XI, § 12, 13.
*) [12], т. VI, стр. 504; [7], п. 91 а; [17], гл. XI, § 1—3.
§ 53. Масштабные эффекты при входе в воду
109
цнонной эрозии, менее ясен, так как тут всегда имеется ускорение, направленное от более плотной жидкости к менее плотной. Тем не менее и в этом случае имеем неустойчивость из-за отрицательного торможения1), так как по существу b < 0.
В предшествующих рассуждениях мы не только пренебрегали многими физическими переменными, которые могут иметь значение (например, поверхностным натяжением), но и ограничивались бесконечно малыми возмущениями. Хотя достигнут некоторый успех в исследовании возмущений конечной амплитуды, в нелинейной теории пока еще не все понятно.
