Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Однако по разным причинам подобные снимки не вполне точно соответствуют теоретической постановке вопроса. Так, например, они изображают замедляемое тело, а не стационарное течение; поверхность воды является второй свободной границей, что усложняет математическое описание; к тому же нельзя пренебрегать влиянием воздуха (ср. § 53).
Применимость теории течений Гельмгольца качественно подтверждается тем, что позади снарядов, движущихся достаточно быстро, получаются каверны сколь угодно большой длины (100 диаметров и больше). Это явление имеет важное практическое значение: большое поражающее действие скоростных снарядов и осколков бомб обусловлено тем, что они могут проделывать отверстия, значительно превышающие их собственные размеры2). Для нас же значение этого факта заключается в том, что он указывает физическое приближение к бесконечным кавернам, которые определяются математически как решения задачи Гельмгольца — Бриллюэна.
Обобщенная задача Гельмгольца. Если предположить, что выполняются условия (14) и что жидкость несжимаемая и невязкая, то можно применить концепцию Гельмгольца и к ускоренному течению с учетом гравитационных сил. С этой целью допустим, что кавитация самопроизвольно возникает, как только р < pv. Получающуюся таким образом краевую задачу можно назвать обобщенной задачей Гельмгольца3).
') См. В irk hot f G., Cay wood T. E.t J. Appl. Phys., 20 (1949), 646—659 (описание приборов, использованных в опытах, и другие снимки).
2) См. [5], § 74 и указанную там литературу; а также Harvey Е. N.. The Military Surgeon, 98 (1946), 509—528.
’) Теория гравитационных волн рассматривает тесно связанную с ней задачу, когда р = ра на свободной поверхности. Обычно под поверхностью р > Pat но в данном случае это условие не предполагается.
§ 51. Пузырьки
105
Идея о том, что реальную кавитацию можно математически описать при помощи решений обобщенной задачи Гельмгольца, подтверждается качественным наблюдением того, что заполненные паром каверны возникают у твердых поверхностей. Это эмпирическое положение можно вывести при рассмотрении рб-общенной задачи Гельмгольца следующим образом ')• Применяя оператор Лапласа к уравнению Бернулли [гл. I, формула (5)], получим уравнение
= - Po?2{yV?/Vi/+-^ + G}. (31)
В формуле (31) V2G = 0, так как G есть ньютонов гравитационный потенциал; V2(dU/dt) — d(V2U)/dt = 0, в силу формулы
(6) из гл. I; и, полагая и* = dUjdxk, так что V?/V?/=2tt4. получаем формулу
V2(2 «*) = 2 ukV2uk + 22(Va* • >0.
Отсюда V2p 0, причем равенство имеет место только если и постоянная, т. е. р — супергармоническая функция. Известно, однако, что супергармоническая функция должна принимать свои минимальные значения на границе; следовательно, р будет становиться меньше pv прежде всего на границе.
§ 51. Пузырьки
Часто употребляемое вместо «каверны» слово «пузырек» указывает добавочно на малые размеры и подвижность. При рассмотрении маленьких пузырьков обычно необходимо учитывать силу тяжести и поверхностное натяжение, как мы уже видели в § 32. Мы изложим сейчас некоторые результаты относительно пузырьков, которые показывают правильность указанных соображений, и разъясним далее причины, по которым течения Гельмгольца дают лишь приближенную картину реальных каверн.
Сначала мы напомним ([11], т. I, п. 29) о скачке давления, равном 2-[/г, который создается поверхностным натяжением т при переходе внутрь поверхности сферического пузырька радиуса г. Уже это беглое замечание указывает на возможность того, что жидкость, из которой удалены все пузырьки радиуса r>R, может выдерживать натяжение величиной (2-j/r) —pv без кавитации!
Kirch hoff G., Vorlesungen fiber Mechanik, 1876, стр, 186; см. также Bouligand G., /. de Math.., в (1927), 427.
106
Гл III. Струи, следы и кавитация
Хотя ограниченность объема книги лишает нас возможности подробно исследовать этот увлекательный вопрос, мы все же напомним, что жидкости после дегазации в лабораторных условиях выдерживали натяжение величиной в десятки атмосфер1), вопреки условию (14). Подобно этому вода, из которой удален воздух, может быть перегрета без парообразования. По этим причинам лабораторные измерения кавитации теперь, как правило, сопровождаются измерением содержания воздуха в жидкости. Только потому, что чаще всего «вода» не в достаточной мере однородна (ср. § 1), а содержит во взвеси много «пузырьковых ядер», условие (14) приближенно справедливо.
Второй вопрос, имеющий математический интерес, связан с подъемом больших пузырьков в вертикальных трубах при наличии силы тяжести. Не затрагивая трудных задач физической реализации и устойчивости и пренебрегая поверхностным натяжением, мы рассмотрим идеализированный случай — подъем двумерного плоского пузырька, схематически изображенный па рис. 21, а.
Наиболее интересно здесь большое сходство с математическими методами, введенными в § 45, 46. Чтобы показать это. снова отобразим течение на единичный полукруг Г в плоскости t (рис. 21,6), причем неподвижную границу отобразим на диаметр, а свободную — на полуокружность, как в § 37. Пусть d — диаметр трубы и и0 — скорость подъема пузырька (если оси неподвижно связать с верхней точкой пузырька, то и0 есть скорость падения в <х>0 — в точке на бесконечности вверх по тече-
