Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
необходимые для расчетов на устончн кос :ь 'сжатых стер ж:; ей с
первоначально прямолинейной осью, ".ли крншчссьое напряжение. o,i редел я
woe по форму че Эйлера.
°* = ~Г №>
Сжатые стержни за пределами пропорциональны ти 81
превосходит предел пропорциональности atUi В формуле (98): Е - моду чь
упругости материала; Х = -- гибкость стержня; р. - коэф
rmin
фициент длины, зависящий от способов закрепления концов стержня,
'cim ~ "|/ - наименьший радиус инерции поперечного сечения,
-наименьший момент инерции поперечного сечения: Г - пло шадь поперечного
сечения. Если
Оз > Опц, (99)
то потеря устойчивости происходит за пределами пропорциональности, при
этом формула (98) уже не определяет истинного значения критического
напряжения.
Критической гибкостью называют величину
X.= :t1/-, (100)
* Г впц '
зависящую только от свойств материала стержня. Значения X* ориенти-
роночно следующие:
Сталь-
Ст.З....................................... 105
15ХСНД........................................ SO
Хро ко молибден св а я . . .................. 55
Д у рал юм ин.................................... 50
Чугун . 55
При Я ]> ?.+ потерн устойчивости происходит в пределах пропорциональности
материала, при X < X* выполняется неравенство (99) и необходимо
пользоваться данными ниже указаниями.
Теория продольного изгиба центрально сжатого стержня
Теория Кармана. Теория основана на идее Эйлера о том, что потеря
устойчивости выражается в появлении смежных форм равновесия при
неизменной нагрузке. Предполагается, что свойства материала при сжатии
стержня характеризуются некоторой опытной диаграммой б - о (е) (рис. 65).
Если потери устойчивости происходит при некою
ром напряжении окр спц (см. точку т на рис. 65), то d
волокнах,
расположенных с выпуклой стороны стержня, возникнут дополнительные
напряжения сжатия
Ао_ = Г* Ле_, (101)
здесь /Г" -- ~ - касательный модуль (Зависящий от напряжения апц)
Соответственно, в волокнах, расположенных с вогнутом стороны стержня,
возникнет разгрузка, которую можно считать следующей линейному закону:
До* = /;Де* (102)
32
Устойчивость стержней
При этом эпюр и равномерно распределенных напряжении сжатия (рис. 66, а)
принимает вид, изображенный на рис. 66, 6. При потере устойчивости
нейтральная ось смещается в сторону от центра тяжести поперечного
сечения, и переход в возмущенную форму равновесия
о) 6}
Рис. 65 Рис. 66
сопровождается укорочением осн. Основанные на этих предпосылках
дальнейшие выкладки приводят к следующей формуле для критической силы:
.103)
в которой Т - приведенный модуль (двойной модуль, модуль Кармана),
зависящий от модулей Е и ?#, а также от формы ссчсния. Критическое
напряжение
л2Г
°м> = ттг- U01)
Для прямоугольного сечения
2 FF
Т - . г. '* 2 ; (105)
для двутаврового сечения с весьма тонкой стенкой 4??*
(106)
Для материала, имеющего ясно выраженную площадку текучести, ?* - 0 и
приведенный модуль формально обращается н нуль. Это означает, что
сжимающая сила не можег превзойти значения РПц - GnuF, которое и должно
быть принято за критическое.
Кривая "критическое напряжение гибкость" на основе теории Кармана
строится следующим способом. Располагая кривой а - о (е) (и,
следовательно, значением ?), для каждого значения uKt> определяю г
соответствующее значение касательного модули ?* и. затем по формулам тина
(105) или (106) вычисляю г значение приведенного модули Т. После этого но
формуле (104) определяют гибкость
(107)
Слсипые стерший за пределами пропорциональности
83
Пример 8. Построить кривую -Л для дву 1авро1Юго сигрмин из дура
лю мин а Д16Т
Диаграмма <г (е) показана на рис. 67. Предел пропорциональности апц - я=
СООО дач, с и*, модуль упругости Е - 7,5 I05 дан} см* Для определения
касательного модуля Е+ через каждую из отмеченных буквами а, Ь, . .,
п
точен проводит касательную и находят тангенсы углов, составляемых
касательными с осью абсцисс. Найденные таким способом значении t,
приведены в тлбл 37. Далее но формуле (106) вычисляют значения
приведенного
37. Результаты расчета двутаврового стержня по теории Кармана
* *1 мР-3 S о (- ~ Ё. 3 '= \ 2 * * О '?
S <<
в itaH't п дан;см*
а 2,67 2000 7,50 7 50 00,5 Й 7 0 3200 117 2.03 25,0
V .1,0 221)0 3.96 С. 05 54,7 8,1) 3320 0,97 1 72 22,6
с 1,5 2460 4,34 к 9 0 3400 0,82 1,48 20,8
1,0 3.72 4,97 1 10,0 3459 0,82 1 48 20,6
5,0 2780 3,81 т 11,0 ЗобО 0,82 1,48 20,2
1 5,0 2900 2.05 3,22 33,0 п 12,0 3640 0.82 1,48 20.0
8 0,0 .1040 1.50 2,50 28.3
-'¦'•лулн 7 ,|, .икешец, пн редоли о ¦ с помощью формула 1.107) значения
гп 5-_-осщ }_ Полученааи зависимость показана на рис. 08 При X > 60,5, т.
е. vnpyrc.it области, кривая соответствует формуле Эйлера (99). [1а том
же
84
Устойчивость стержней
I рафике даны опытные топки. При i > 60,5 они почти точно лежат па припой
Эйлера, а при Я < 60,5 опытные точки располагаются несколько ниже
расчетной кривой
Рис. 68
Теория Шенли. В отличие от концепции Кармаке., в теории Шенли научается
