Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
выше экстремальными теоремами снязаны теоремы о приспособляемости упруго-
пластических тел. Практически важным является случай, когда нагрузки
претерпевают изменения (например, Циклические), а тело испытывает упруго-
пластические деформации.
72
Теория пластичности
Хотя при этом нагрузки не достигают предельных значений, тем не менее,
если их интенсивность достаточно велика, то при каждом цикле будет
происходить пластическая деформация. Следует различать два случая: 1)
пластические деформации с каждым циклом нарастают;
2) чередуются пластические деформации различного знака.
В первом случае происходит недопустимое накопление пластических
деформаций {прогрессирующееразрушение). Во втором случае разрушение
наступает вследствие явления усталости металла при пластических
деформациях {переменная пластичность).
Для того чтобы указанные явления не происходили, необходимо, чтобы
пластическая деформация имела место при первичных нагружениях, а
происходили бы лишь упругие деформации. Это возможно, если в результате
первичного нагружения образовались остаточные напряжения, частично
компенсирующие напряжения от последующих воздействий, так что условие
текучести больше не достигается. Говорят, что при этом тело
приспособилось к данным воздействиям. Естественно, что нагрузки при этом
должны удовлетворять некоторым ограничениям. Последние определяются
теоремами о приспособляемости.
Пусть на упруго-пластическое тело действует некоторая система нагрузок,
зависящих от времени. При нагружении в теле возникнут напряжения с*, . .
ххг, а при снятии нагрузки - остаточные напряжения oj. . . .. т^.
Обозначим через (fx т?г напряжения при данных нагрузках в идеально-
упругом теле. Поскольку нагрузки изменяются, компоненты напряжения
являются функциями времени.
Теорема Мелана (или первая теорема о приспособляемости). Пусть удалось
найти частное распределение остаточных напряжении °х- • • •, Тхг" не
зависящее от времени. Тогда при всевозможных нагрузках, таких, что
напряжения
\ + К- ¦ • + ехг
не превосходят условия текучести, поведение тела будет вполне упругим, т.
е. наступит состояние приспособляемости.
Поле напряжении сх, .... ххг следует выбирать таким, чтобы область
допустимых изменений нагрузок была наибольшей.
Теорема Койтерз - вторая теорема о приспособляемости, связана с
рассмотрением кинематически допустимых скоростей пластической деформации
и их цикла 112].
Минимальные принципы в теории упруго-пластичсских деформаций аналогичны
принципу минимума потенциальной энергии и принципу Кастильяно к теории
упр угости.
Принцип минимума полной энергии. Денстин тельные перемещения сообщают
полной энергии тела минимальное значение
I // dV - А - min, (38)
X?
где А - работа внешних сил,
Общие теоремы и методы решения
73
Потенциал работы деформации П для упругого состояния определяется
формулой (19) при к (yi) = const = G, для идеально-пластического -
формулой (17), для упрочняющейся среды-формулой (19).
Если в теле имеются области различного состояния (упругого и
пластического), минимальный принцип сохраняется [8].
Принцип м и н и м у м а д о п о л к и т е л ь н о й работы.
Действительное напряженное состояние отличается от всех статически
возможных состояний тем, что оно сообщает минимум дополнительной работы
тела
(39)
j R dV
V
Дополнительная работа численно равна площади, заштрихованной
- У i 1
на рис. 11 горизонтальными линиями. Функция g (т/) I* --у- = •
Потенциал деформации характеризуется площадью, заштрихованной
вертикальными линиями Очевидно, что R= тiVi - П-
Для упругой среды, подчиняющейся закону Гука, R - W, принцип (39)
переходит в принцип Ка-стильяно.
Для идеально пластического состояния
п 3 . _
Для состояния упрочнения
3 , " , I~j_.y_.i_. Рис. 11. Дополнительная |>а-
- 2 J бота Ц п работа деформации II
Обобщение теоремы Кастнльяно. Если приложены обобщенные сосредоточенные
силы Pi. то частная производная дополнительной работы по величине любой
силы Pt равна обобщенному перемещению А,- точки приложения силы:
-L- ff/^l'UAi ,40)
Модифицированный метод Ритца. Вариационные уравнения (-38) (39) могут
быть использованы для приближенного решения. Применение метода Ритца в
обычной форме связано с большими трудностями, так
Гк коэффициенты теперь определяют из нелинейной системы уравнений,
некоторых случаях легко найти лишь первое грубое приближение с одной
произвольной постоянной.
Надежные результаты можно получить с помощью модифицированного метода
Ритца [10]. Рассмотрим его применение к разысканию, например, минимума
дополнительной работы (39). Решение строим последовательными
приближениями в форме
"!? = + 2 с*>и*"0- '¦2' ¦ •>¦ '¦>'>
Теория пластичности
где o,-fо - частное решение уравнений равновесия, удовлетворяющей
заданным условиям на Sy\ ct-/s - частные решения уравнений равновесия,
удовлетворяющие нулевым граничным условиям на Sp, а С/>5 -
произвольные постоянные. Полагая g (Tj) ^-, где 0'" - модуль
