Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Of сГ
и напряжения в пластической зоне
тг - 2аг 1п - р; оф = аг -\-от.
(22)
3 Заказ 1636
66
Теория пластичности
Радиус пластической зоны с определяют из ураннения
I
In -
/_?_ \s р ' 3 \ Ь ) = 2с,
(23)
Напряжения в упругой зоне c^r^h можно получить из формул (21), заменяя а
на с, а р на q = -2or In + р.
Остаточные напряжения в шаре после снятия нагрузки определяются
разностями
= (24)
где ffrp, - напряжения в упруго-пластическом шаре перед
сбросом
нагрузки; а*р, аер-напряжения в упругом шаре согласно формулам (21).
Графики напряжении о(r), о*р показаны на рис. 7. Предельная нагрузка
достигается при с -> Ъ
/>* - 2От !П - .
(25)
Рис. 6. Шар под действием внутреннего давления
По достижении предельной нагрузки внутреннее давление не может превысить
р* (при отсутствии упрочнения).
Случай упрочняющегося материала в данной задаче также рассматривается
достаточно просто. При степенной
зависимости
постоянные, компоненты на-
пряжения будут такими же, как при установившейся ползучести.
Цилиндрическая труба под действием внутреннего давления. Рассматриваем
длинную трубу (диаметры 2а, 2в) с донышками; осевое усилие равно рлс2.
Упругое состояние описывается формулами Ламе
~ / ь* Л) а"^р(тг + ') I
(26)
Распределение упругих напряжении показано на рис. 7. а. Пластическое
состояние впервые появляется на внутренней поверхности трубы при давлении
л-А('"?)- ,27)
Точное решение пластической задачи (с учетом сжимаемости) требует
значительных вычислений [7,26]. Здесь приведено приближен-
Осесимметричные упруго-пластические задачи
67
ное решение, основанное на допущении, что в пластической зоне (как для
упругого решения п для тойкс стенной трубы) (Jz = ~ (о>+ Оф).
Пластическая деформация развивается в кольце о^г^с.
В упругой зоне с г Ь распределение напряжений описывается ^ ^ ас~
формулами Ламе (26), если вместо р вЕЕести q вместо а -
радиус с; q - радиальное напряжение на линии раздела г - с.
Рис 7. Распределение напряжений в трубе а - упругой: б - упруго-
пластической. "( - остаточные напряжения
При идеальной пластичности условие текучести Мизеса имеет вид
а напряжения в пластической зоне
После нахождения с величину q вычисляют по формуле
Радиальное смещение и упругой зоне определяют по закону Гука
а в пластической - по уравнениям теории упруго-пластических деформаций
(28)
Радиус пластической зоны г - с определяют из уравнения
и = г-,
-?-[<% - V (О, -I Оф)],
" = --р='fj; Т = -*+
с- 2 - у г2 Е *
68
Теория пластичности
Для несжимаемого материала (к - 0) полученное решение будет точным, а
осевое удлинение ег - 0. Распределение напряжений в упруго-пластической
трубе показано на рис. 7, б.
Остаточные напряжения в трубе после сброса давления определяются
разностями (24):
о" = <" = (29)
где - напряжения в упруго-пластической трубе перед сбросом
давления; <fr, о* -напряжения в упругой трубе по формулам Ламе.
Распределение остаточных напряжений показано на рис. 7, в. Если теперь
вновь поднять давление, не превышающее первоначального, то
при о(r) -о?<. f_ ст. новых пластичес-к ф ' ]/3
них деформаций в трубе не будет. Произошло упрочнение (автофретаж) трубы.
Расчеты автофретажа с учетом упрочнения металла см. в работах [7, 17].
Предельная нагрузка для трубы
р* - --- Oj- In . (30)
У 3
Распределение напряжений в предельном состоянии показано на рис. 8.
Упрочняющаяся труба. Для определения напряженного состоянии можно
пренебрегать сжимаемостью, тогда при условии упрочнения (5) решение имеет
вид
of dr
ar - 2 | Ti -у- - p; a<p - cr + 2Tj: a
здесь тi = g{yi) Yf, причем yi = 2 -где С- произвольная постоянная,
определяемая по условию непрерывности напряжений а, н о<р при г - с. Если
вся труба находится в состоянии упрочнения, то ог -- О при г - Ъ-
При степенной зависимости т. - ДуМ- напряжения будут такими же, как в
состоянии установившейся ползучести [см. формулу (2S) гл. 4].
График напряжения в зависимости от показателя степени р приведен на рис.
11 гл. 4.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Экстремальные принципы для жестко-пластического тела (см рис. Б. б)
характеризуют свойства полей скорости vx, vy, vz п напряжений од, . . .,
txz. Так как в схеме жсстко-пластического тела неизбежны разрывы
напряжений и скоростей, формулировки экстремальных прнн-
Рис. 8. Распределение напряжений в труйе в предельном состоянии
Общие теоремы и методы решения
60
дипов охватывают разрывные поля. Тело занимает объем V. ограниченный
поверхностью5. На части поверхности тела Sp заданы усилия />,, на части
Sv - скорость (рис. 9). Объемные силы F дли простоты ниже опущены.
Минимальные свойства действительных скоростей. Рассмотрим кинематически
возможные скорости vv, vy, vz, удовлетворяющие условиям на Sa и имеющие,
вообще говоря, разрывы в касательной составляющей скорости на некоторых
поверхностях разрыва Sj. Тогда полное рассеяние достигает абсолютного ми-
нимума для дейсаыительного поля скорости
f (V',H + 4,-rfi -
i" v
- j (*Л 1 + гЛ> dS + Ь ? j I И | 'IS; (31)
