Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
пластического течения. При этом некоторые части пла стинки остаются
жесткими. В пластических же зонах выполняется условие пластичности Мизеса
или Треска-Сен-Веиаиа (см. гл. 3).
Вместо перемещений и, v. w следует теперь рассматривать ско рости и, v,
w.
Предельное состояние при условии текучести Мизеса. Из уравнений теории
пластического течения (см. гл. 3) и формул (2) следует, что по величине
напряжения о*, Оу, хху по толщине пластинки постоянны и меняют лишь знак
при переходе через нейтральную плоскость. Поэтому (для z *> 0)
Л2 Л2 И2
Л1" = - ах; Му - - о,; И = - ТЛ11; (,)
Внося эти значения в условие текучести Мизеса, получаем предельное
условие для пластинки
M'i - М"Му + + 3 я'2 = м%
где МТ - - предельный изгибающий момент на единицу длили
4
сечения пластинки
Расчет пластинок при упруго-пластических деформациях 617
Из уравнений теории пластического течения (см. гл. 3) следуют зависимости
для скоростей кривизн:
х* -= к (2Мх - Му); у.у = к (2Му - Мх)'. Кху = 3XW; (9)
здесь А. - произвольный множитель (пропорциональный мощности пластической
деформации).
Предельные нагрузки для некоторых случаев закрепления и нагружения
пластинок приведены в табл. I.
Предельное состояние при условии текучести Треска-Сен-Венана. Эго условие
имеет вид
где О! и о2 - главные напряжения. Внося сюда соотношения (7), прнходим к
соответствующему предельному условию для пластинки
Зависимости для скоростей кривизны определяются законом ассоциированного
пластического течения (см. гл. 3).
Предельную нагрузку находят из приведенных выше уравнений равновесия,
предельного условия (8) или (10) и соответствующих зависимостей для
скоростей кривизн. Решение этой системы уравнений связано со
значительными трудностями (исключая случай осесимметричных пластинок).
Весьма эффективно применение энергетических методов (см. гл. 3).
Энергетические методы разыскания предельной нагрузки следуют из общих
экстремальных теорем (см. гл. 3) Пусть
где <?о (*, у) - фиксированное распределение давления; т - параметр
нагрузки.
Верхняя граница предельной нагрузки. В соответствии с теоремой о верхней
границе предельной нагрузки ,(см. гл. 3) всякое кинематически возможное
поле скорости w приводит к верхней границе предельной нагрузки -
кинематически возможному коэффициенту предельной нагрузки
Интегрирование проводят по неей площади пластины. В пластине могут быть
при этом жесткие зоны н могут возникать линии пластн ческих шарниров.
Н и ж к и я граница предельной нагрузки Всякое распределение во всей
пластине моментов Мх, Му, И, удовлетворяющее
max (jo,!. |0а;, |0, - 02)- 0Г,
шах ([М,!. |AfJ, IA4, - Мг\) = МТ.
(10)
q - mg0: q0 = </0 (х, у).
(ID
причем
(12)
\ ( Qti (*. И) к ,и J'J
618 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
1. Формулы для определения предельны* нагрузок для пластинок
Примечание. Для полигональной пластинки п ~ число сторон.
Расчет пластинок при упруго-пласттеских деформациях 619
дифференциальному уравнению равновесия (5) при некотором зна чении т -
mSt силовым граничным условиям и неравенству:
Ml - МЛ + Ml + 3 Н2 s; м\ приводит к нижней границе
ms ^ /п*. (13)
Осесимметричные пластины (рис. 2). В случае изгиба осесимметричных
пластин основные соотношения упрощаются. Предельное условие (8) принимает
вид
м; - мгмч -I- M!v = Ml, (14)
.где г, ф - полярные координаты; это - уравнение эллипса (рис. 3).
Рис. 2
Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид йМг , Мг-Мм, ^
dr h г Чг'
где поперечное усилие
Соотношения (9) можно переписать в форме
х, = К (2Мг - Мф); х<р = К (2Mq, - Мг).
причем
d2w
"dr*
t dza r dr
(15)
(IG)
(17)
(18)
Приведенные соотношении вместе с соответствующими граничными условиями
позволяют определить изгибающие моменты, предельную нагрузку н картину
течения в предельном состоянии.
620 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
Верхняя гранииа предельней нагрузки теперь определяется формулой
ь j_
J +*"Р ы'
~ yiМт ~ j-----------------------------' 119)
J я"{г\гЛг
При определении нижней границы необходимо исходить из уравнения
ранновесия (15), предельного условия (14) в форме неравенства и силовых
граничных условий.
При условии текучести Треска - Сен Вена и а решение значительно
упрощается. Предельное условие имеет вид max (| Мг |. \Му\,\Мг- Мv |) -
Мт (20)
и изображается на плоскости Мг, шестиугольником, вписанным в эллипс
Мизеса (см. рис. 3). Скорости кривизн v.r, определяются ассоциированным
законом течения (91.
Упру го-пластический изгиб пластинок
Общие замечания. Материал пластинки следует идеальной упруго-пластической
схеме (см. гл. 3, рис. 4, с). При достаточно большой нагрузке пластинка
испытывает упруго-пластический изгиб. При этом в пластинке будут сечения,
деформируемые упруго и упруго-пластически. В областях пластинки,
деформируемых упруго, прогиб описывается дифференциальным уравнением
Л Лю (21)
где ДА-бигармоническнй оператор; D - жесткость пластины.
В упруго-пластических областях пластинки прогиб w определяется сложным
