Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
максимальное растягивающее напряжение. Если с - радиус круга, по площади
которого равномерно распределена нагрузка Р. то
Р Eh8
(°r)inax - 0,275 (1 + V) -ф Ig , (236)
где А - толщина пластинки, при с< 1,724й
b = V'l.6c*+ А2 - 0,675ft:
при С> 1,724А
Ь = с;
при с = 0 получаем выражение для случая сосредоточенной силы.
Если нагрузка Р распределена по площади квадрата иХи. тс вместо с
необходимо ввести величину 0.57ы.
Пол у бесконечная пластинка и а упругом основании нагружена
равноотстоящими силами Р, приложенными по ее краю (рис. 37) [13]. Если
расстояние а велико, то растягивающее напряжение на нижней поверхности
пластинки под нагрузкой определяют по формуле
(OaW = 0.529 (I + 0,54v) ~ [Ig ( -|?- ) - 0,71 j |237)
Величину b определяют так же, как и в предыдущем случае, причем с -
радиус полукруга, по площади которого равномерно распределена нагрузка Р.
Изгиб пластинок на упругом основании
Бесконечная пластинка на упругом основании, нагруженная равноотстоящими и
равными нагрузками Р, из которых каждая распределена равномерно по
площади прямоугольника и.< v (рис. 38). Прогиб
4 Р
' n2uv
VV
п 8"'
- cos а,"-г cos р"у. (238)
Ъпл 2лгл
Рп = -Г*
Утп - am "Ь Рн> einn = 1 при ли =?- О, п ф О; 1
"тп - -g- при т = О.
n=f=- 0 или гп =?= О, п ~ 0;
1
етп - -г- п ри т -- п - О
ч
Круглые пластинки. Введя в уравнение (130) реакцию упругого основания (-
kw), получим дифференциальное уравнение изгиба пластинки на упругом
основании
(А-- 1--1 Г d2U) 1 dw \
\ dr2 'г dr ) у н Г' ' А* )
(j - kw
(239)
где д - интенсивность поперечной нагрузки; D = толщина пластинки.
Обозначим
?Л3
12(1 - v2)
; h -
I
(240)
Уравнение (239) приведем к виду d \ / d2z
(4*+-
dx
(211)
684
Изгиб и осесимметричное растяжение пласг ганок
Рассмотрим случай пластинки, нагруженной н центре силой Р. Решением
уравнения (241) будет [I3J
Постоянные Af-Ай определяют из соответствия граничным условиям.
Если контур нруглой пластинки радиуса b свободен, то граничные условия
для радиальных моментов |выражение (125)J и соответствующих
перерезывающих сил [формула (125)1 можно выразить следующим образом:
Используем еще дна условия, относящиеся к центру пластинки: первое -
прогиб в центре пластинки должен иметь конечное значение, второе -
равнодействующая перерезывающих сил, распределенных по боковой
поверхности бесконечно малого круглого цилиндра, вырезанного из пластинки
в ее центре, равна силе Р Из первого условия вытекает что в выражении
(242) А3 = 0. По второму условию
г- Лг^1 2(r).4(r) 2'М(r)-62-8а ¦ ) +
2'М2-62-8г
-в I
1769472 Х 1 '
(242)
|243>
d I d2w [ dw \
dr \ drz г dr )г=*ь~
Обозначим -~ a
= /4. тогда
Изгиб пластинок на упругом основании
где е - бесконечно малый радиус. Используя обозначения (240) и выражение
(242) для г. находим окончательно, что для бесконечно малого значения х -
-j- уравнение (244) принимает вид
- "• + Р = 0;
1е
. Р
Из соотношений (243) находят остальные постоянные A t и А 2.
Неограниченная большая пластинка на упругом основании нагружена в центре
силой Р Прогиб в центре
И\пач - • (246)
Радиальные моменты на некотором расстоянии от нагрузки принимают
отрицательное значение; наибольшее по абсолютной величине значение
отрицательных радиальных моментов равно 0.02Р (при v = = 0,3). Моменты Мг
н Мч. будут
(246)
(247)
где у " 0,5772157. . . - постоянная Эйлера.
Формулы (246) н (247) неприменимы для точек в непосредственной близости
от центра пластннки.
Если нагрузка Р распределена по площади круга радиуса d, малого в
сравнении с /, то момент Afmax для центра бесконечно большой пластинки
будет
[(' +v)( ,"4-v) -4d- -v,];
[<l+v)| i+4-*1 ¦ -V,]
<Ц^?(|п 4+0.616) (248)
Если нагрузка равномерно распределена по площади малого квадрата "Хм, то
момент в центре
AW - !±Д Р (in 4 + 1.1") - (249)
Л)(tm)* - 4j[
Маях - .
4я
586 Изгиб и осесимметричное растяжение пластишж
ИЗГИБ толстых плит
Круглая плита закреплена по контуру и нагружена равномерно по всей
площади. Стрела прогиба /' при шарнирном опирании по контуру [4]
,-0.7(^)2]; если плита защемлена по контуру, то
Г-Ф+ 3.33(A)1],
где f - стрела прогиба по соответствующей формуле теории тонких
пластинок; Ь - радиус плиты; h - толщина.
Прямоугольная плита со сторонами аХЬ. шарнирно опертая по контуру,
нагружена равномерно распределенным давлением (а ^ 6). Стрелу прогиба fr
определяют по формуле [4)
где f - стрела прогиба, определяемая по соответствующей формуле теории
тонких пластинок.
Коэффициент а принимают:
а Ь 1.0 1.2 1.4 1.0 1.6 2.0 3.0 4.0 5.0 -
а 1.18 0.98 0,87 0,80 0,75 0.72 0.04 0,62 0.61 0,61
Нормальные напряжения при изгибе шарнирно опертых толстых плит можно
определять по формулам теории тонких пластинок даже в том случае, если
отношение толщины к наименьшему размеру осно-I
вання достигает -g-.
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНОК Основные уравнения
Рассмотрим осесимметричное растяжение (сжатие) круглых ллас тинок
(дисков) переменной толщины (рис. 39).
