Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии (рис. 16), которая совпадает с плоскостью кривизны.
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяют по формуле
Предполагается, что температура распределена симметрично относительно
плоскости кривизны; такое предположение относится и к величине модуля
упругости.
(51)
О'
Рис 15
Рис. 1C
F
F
Глава !3
ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Определения. Естественно закрученными называю! с.сржни,
боковая поверхность которых может быть образована винтовым дви-
жением плоского контура J (?, "]) = 0 относительно прямолинейной оси ?/,
которая проходит через некоторую точку / плоскости, ограниченной
указанным контуром, и перпендикулярна к этой плоскости (рис- 1).
Примерами естественно закрученных стержней 1 являются витые лопатки
осевых компрессоров и газовых турбин. воздушные винты, спиральные снерла.
закрученные манометрические трубки и другие подобные детали Различают
неподвижные х, у, г и подвижные - ?, Г). ^ (связанные с текущим сечением)
оси координат, направляющие косинусы которых принимают по табл. 1
В таблице а0 - угол установки текущего сечения. В дальнейшем ?, 1) -
главные центральные оси сечения.
1. Направляющие косинусы осей координат
Оси координат
1 В дальнейшем слово "естественно* иногда опускаемся.
Основные положения
411
Относительная закрученн./сть стержня в данном сечении в рад/см _<1а,
'~~2г '
(I)
Стержень равномерно закручен, если т" = const. Тогда
а" (г = а0 (0) +- х^г, (2а)
/
(26)
где а/ - изменение угла установки сечений на длине /.
Соответственные точки М и М] различных сечений закрученного стержня
располагаются на винтовых линиях ММ у, углы наклона которых
Р0 = arctg (т0/?> (3)
где R - - I/)2 + (") - Чу)2 - расстояние точки М до оси ?,
Основное практическое значение имеют закрученные стержни с умеренными
углами наклона винтовых линий, у которых для всех точек сечения углы
¦¦ I (4
и, следовательно.
(5)
В этом случае, не нарушая общности, можно считать* что ось есте стненной
за кручен пости ?/ совпадает с линией центров жесткости i (т е. с упругой
осью стержвя). В дальнейшем различием в положениях центра жесткости и
центра тяжести сеченнй для простоты пренебрегаем.
Одни из особенностей поведения закрученных стержней зависят от взаимного
положения сечений (т. е от абсолютного угла закрученно сти а"), другие -
от взаимного наклона винтовых линий в данном сечении (т. е. от
относительного угла закрученности т0 и конфигурации сечения).
Геометрические соотношения. Перемещения точек осн стержня щ, о,]. углы
поворота 0g. 0g, а также компоненты вектора общей
деформации (кривизны Kg, Kjj и кручение Tg) в системе координат т), ?
связаны соответственно с перемещениями и, v, w, углами поворота 0Х, 0^,
62 и компонентами вектора общей деформации (кривизнами Kjfi у-и и
кручением т2) в системе координат к, у, г соотношениями Табл. 1, в
частности
=¦ кх cos а0 -Ь ку sin ас;
= - у.к sin се0 + у.у cos а0, Tg = т2 = т;
6g = 0г - 0; l?? - Wz ~ 10-
(6)
412
Естественно закрученные стержни
(в)
При малых прогибах
Kjr=-v"; y-у-и (7|
(штрихом обозначены производные по длине стержня) и, следовательно, к? =
- v cos а0 и sin aQ = - pj - 2ugT0 + - w.x'0\
= V sin a0 + и cos a0 = - 2p',t0 - - v^x'q.
Кручение
т = 0' .9i
удлинение оси
e = a/. (10)
Уравнения равновесия. Компоненты главного вектора и главного момента
Af|, внутренних сил в системе осей
i|, С связаны соответственно с компонентами Qx, Qy, Qz и Мх,
Му. Мг
н системе осей х, у, г также соотношениями табл. 1, в частности
= Мх cos a" -f sin к0; Мщ => - M^shm^ ~\- Л^соза0
III)
Ураннсния равновесия элемента стержня в системе координат х, у. г после
исключения сил Qx. Qy имеют обычный вид
4', + ъ^ о,
м\ + I)ь. + ш' = 0. Л1" - чл. +mj = 0, = 0,
(12;
(13а)
где qx, qS), q2 и тх, ту, rnz - соответственно компоненты распределенной
нагрузки и распределенного момента в направлении осей х, у. г. 6
подвижной системе координат
Qt - Счто + ^ = 0.
Ql) + + % = 1
"i-'Vn-О" + Я| = 0; |
м 'т, + 'И|Т0 4 о, + га" = О. I
где 9^, 9,j и пг^, - компоненты распределенной нагрузки и момента в
направлении осей t, "]
Физические уравнения. Пренебрегая, как обычно в теории стержней,
деформациями от поперечных сил Q$, Qv, получим, что компоненты общей
деформации закрученного стержня е. к;. к,,, т являются фу и к-
Теория Кирхгофа - Клебша
413
днями компонентов внутренних силовых факторов Q^, Д4", В линейной
постановке задачи
и обратно
е 1 ар "e"i II Ос 1
*5 = j Ч* ч Чг) "я !| %1
Ч
X || ахе "т| аТТ) а, I Л1С||
Се 1 *8 fte") hex e
щ - h h\x
мч h4 hn
^Т8 hx\ ^•ТГ| hx II T ,1
(14)
(15)
где ciki = aik и hut = hik (&. I = e, ?, rj. т) - соответственно
коэффициенты податливости и жесткости, вообще говоря, зависящие от
относительной закручепности т0 стержня. Для простоты вместо Qkk и Л**
пишем ak и 1ф.
Для отдельных классов задач система (14)-И5) упрощается. Известные теории
естественно закрученных стержней 1 различаются полнотой используемых
