Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
I де условные температурные усилия и моменты
A'i= Г Eat dF,
Mxi " - f Eaty dF.
Вторая группа членов выражает температурные напряжения в кривом стержне.
Предполагается, что температурное поле имеет плоскость симметрии стержня.
Стержень с постоянными параметрами упругости, неравномерный нагрев
отсутствует. Напряжения определяют по формуле
здесь г1 - г + у - расстояние рассматриваемой точки до центра кривизны.
Положение приведенного центра тяжести определяется условиями (Зо) и (36).
Для приведенного момента инерции часто используют формулу
- статический момент сечения стержня относительно оси, проходящей через
приведенный центр тяжести; е - расстояние между центром тяжести и
приведенным центром тяжести сечения.
Значения радиусов кривизны линии приведенных центров тяжесги для
различных сечений приведены в табл. 7.
о
г Л' гу Мх г + У Fnp г Ч~ У •?.хпр
(41)
где приведенные площадь сечения и момент инерции
F
F
F
F
42)
Jxnp - J r dF - f J 'JdF - cSp,
(43)
F
F
где
$F -= J ydT - e F
14 i)
Кривые стержни
• Значения радиусов кривизны г линии приведенных центров тяжести для
различных сечений
Сечение Радиус кривизны '
Т ее JLT If щ. , + Л. 12 ( * ) f'+ 15 (*) + т 2Ц !п ТГ •-w + (r)>(тг) +
|}
4 1". + Ь,1
А Мд-Л. {[" + "-"4(-?"4??)]* . . Л ЪЬ,+Ь, ] . ¦ 3 R Ь, + b. , 1
* , л ь,+ {bi 3 R b >
тб т >- L h 2 ¦2 h K 1 м 2 Mm 3 ' * l ft Г + 3 Я J \ h 1 3 R
у* , й d2
О: J А X У г с L
436
Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл 7
Радиус кривизны г
/ пгзт
4".,в1/ __2"
У
Pi Pi + *1
p*. ,п Р. + *. + **+*" h Р, + fti + А.
ВН + bh
Распределение нормальных напряжений при чистом изгибе. В этом случае
(рис. 12)
ry М _____________г у М г.
°~ ~~ г -}- у г гф_ ~ r + j ' ixnp' °
J г + 0
Напряжение в точках А и В
rh. м
'Ьв fA
Кривые стержни
437
Нормальные напряжения в поперечном сечении распределяются по
гиперболическому закону. Сопоставление с точным решением для стержня с
узким прямоугольным сечением (плоская задача в полярных координатах,
решение Головина) показывает, что приближенное решение на основе гипотезы
плоских сечений [формула (45)] обладает h ,
достаточном точностью при -р- I.
Случаи растяжения центральной силой. В поперечном сечении внешние
нагрузки приводят к нормальному усилию N, приложенному в центре тяжести
сечения. В рассматриваемом случае Мх - -Ne и из формулы (41) следует
i Л' , у Ne _ Л'
° г 1 у F ' г + у eF F
Напряжения распределяются по поперечному сечению равномерно.
Условия равновесия, касательные напряжения и перемещения
Условия равновесия участка стержня (рис. 13). При плоском изгиба кривого
стержня условия равновесия имеют вид
¦с*
где ц и л - интенсивность распределенной рнс 13
нагрузки на единицу длины приведенной оси
стержня (элемент дуги fis, радиус кривизны г); Мх, N к Q - изгибающий
момент, нормальное и касательное усилия в сечении стержня.
Касательные напряжения. В приближенной теории касательные напряжения в
поперечном сечении определяют на основании условий
Тонкостенные и кривые стержни
равновесия. Для элемента стержня при отсутствии распределенного усилия
вдоль его оси (рис. 14) условие равновесия
l^L - Tbr + l1 -f - Q, = 0. <47>
ds г г г
где Nj и Qj - нормальное и касательное усилия, действующие на отсеченной
части сечения.
Касательное напряжение для равномерно нагретого кривого стержня
постоянного сечения определяют по формуле
b(r + yf \SF FI
где Sf = j у dF - статический момент отсеченной части сечения, F
площадь которой равна f
При г -"¦ оо уравнение (48) выражает обычный закон распределения касател
ьиых нап р яжений.
Потенциальная анергия деформации равномерно нагретого кривого стержня
U -
Л-
Мх
"Ё77,
¦ +
"? + *
<эг \ ,,
2GF / '
не)
где Е и G - модуль упругости и модуль сдвига, JXnp'- приведенный момент
инерции, определяемый по формуле (42); F - площадь поперечного сечения.
Последний член в формуле (49) выражает влияние усилий сдвига; коэффициент
k может быть принят приближенно таким же, как и для призматического
стержня. Интегрирование ведут вдоль оси приведенных центров тяжести
сечений. Часто используют выражение для потенциальной энергии при
интегрировании по обычной оси и при приведении силовых факторов к
обычному центру тяжести Тогда выражение для потенциальной энергии
деформации будет
U
RESf
И:
EF
ММ
RLF
Q-
I dsc
"50)
где ds? - элемент дуги оси стержня (геометрического места центров j и
жести сечен и й) -
Кривые стер жни
439
Перемещения. Для определения перемешен и й удобно воспользоваться
интегралом Мора- Перемещение точки А стержня (рис. 15) в направлении "/"
определяют по формуле
В этом равенстве MiK, Nt и Qj - изгибающий момент, нормальное и
касательное усилия в поперечном сечении от единичной силы, при ложен ной
в точке А: М v. N и Q - силовые факторы от действия внеш них нагрузок
Интегрирование ведут по оси приведенных центров тяжести сечений.
Общий случай изгиба. Предполагается, что сечение стержня имеет плоскость
