Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Если длина каустики s± есть функция некоторого параметра т, то для эллиптической замкнутой каустики имеем
ksi(r) = 2птг, (5.12)
где к = и/с — волновое число и п — целое. В случае гиперболической каустики первое фазовое условие имеет вид
ksi(r) = П7Г. (5.13)
Второе фазовое условие также имеет простой физический смысл. В точку S2 (рис. 5.4) приходят два волновых фронта, вышедших из точки S1 — один распространяется вдоль лучей Si В и BS2, второй — вдоль каустики S\ PS2. Разность фаз этих двух фронтов должна быть кратна 2тт, точнее сказать, если учесть дополнительный набег фазы на каустике, равный 7г/2, она должна быть равна (2т + 1/2)7г. Таким образом, второе фазовое условие имеет вид
Ь2(т) = (2т + тг, (5.14)
где «§2 (т) — разность оптических путей вдоль лучей и по каустике. Это условие должно иметь одинаковый смысл, где бы ни находилась точка В, т. е. длина $2 не должна зависеть от положения точки В. Как
*) Иногда используется также термин «квантовые условия», по аналогии с условиями квантования, использовавшимися в ранней квантовой механике Бора. Однако рассматриваемые вопросы только формально математически сходны с квантовомеханическими, поэтому термин «фазовые условия» более соответствует сути дела. Встречаются также термины «условия стационарности» и «условия самосогласованности».
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
267
мы увидим далее, зеркало и каустика действительно связаны таким свойством, которое обеспечивает постоянство длины s2.
В условии (5.14) предполагалось, что луч при отражении от зеркала не испытывает никакого скачка фазы, что соответствует граничному условию — =0. Иногда скачок фазы при отражении от зеркала
дп s
связан с поляризацией. При другой поляризации может реализовываться граничное условие ia|s = 0, при котором скачок равен 7г. Если учитывать обе поляризации, то фазовое условие примет вид
ks2(r) = + i^7r. (5.15)
Для гиперболических каустик инвариантной является разность $2 между длиной линии PiS\BS2P2 и суммарной длиной двух каустик PiS\Ri + P2S2R2. С учетом скачка фазы на каустике второе фазовое условие для гиперболических каустик имеет вид
Ь2(г)=
Два фазовых условия, например (5.12) и (5.15), можно рассматривать как систему из двух уравнений с двумя неизвестными к и т. Разрешая эту систему относительно /сиг, находим резонансные частоты ишп = скшп собственных колебаний и положения каустик (параметр тшп), соответствующих им. При этом каждому собственному колебанию соответствуют свои целочисленные индексы п и тп.
Как для эллиптических, так и для гиперболических каустик можно получить явные зависимости s\ и $2 от некоторого параметра т. Однако мы сделаем это несколько позже в качестве частного случая соответствующих трехмерных зависимостей.
Эллиптический резонатор рассмотрен в работе [140] с учетом соответствующего волнового решения.
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
Рассмотрим зеркальный эллипсоид с полуосями а, b и с, описываемый уравнением
Ь + ? + Ь = 1; (5Л6)
где для определенности будем полагать а > b > с > 0. Как известно, такому эллипсоиду можно поставить в соответствие семейство конфокальных поверхностей второго порядка, определяемых уравнением
+ (5Л7)
с одним параметром Это семейство конфокальных поверхностей
содержит три подсемейства: эллипсоиды — 'д = ?, где — оо < ? < с2,
268
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
однополостные гиперболоиды — $ = 77, где с2 < 77 < 62, и двуполостные гиперболоиды — 'д = ?, где Ь2 <(< а2. Зеркальный эллипсоид (5.16)
Рис. 5.7. Фокальный эллипс и фокальная гипербола эллипсоидального зеркала
входит в это семейство с параметром ? = 0. В переходных случаях, т. е. при 'д = с2 или $ = Ъ2 уравнение (5.17) определяет фокальные эллипс и гиперболу (рис. 5.7)
Если из некоторой точки зеркального эллипсоида провести касательные прямые к какой-либо поверхности из семейства (5.16), то эти прямые образуют касательный к этой поверхности конус. Известно, что этот конус также является поверхностью второго порядка и обладает тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии второго порядка, причем направления этих осей совпадают с тремя главными направлениями в избранной точке зеркального эллипсоида. Главными направлениями называются направления увеличения ?, 77 и ( в этой точке, совпадающие с направлениями нормалей к трем конфокальным поверхностям второго порядка, проходящим через данную точку.
Эти свойства касательного конуса позволяют утверждать, что, если некоторый луч касается какой-либо поверхности рассматриваемого семейства, то после отражения в зеркальном эллипсоиде он вновь
Фокальная плоскость (в плоскости ху)
а2 — Ь2
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
269
коснется той же поверхности. Действительно, первоначальный луч является одной из образующих того конуса, вершина которого находится в точке, где этот луч пересекает зеркальный эллипсоид. В силу симметрии этого конуса луч, отраженный от зеркального эллипсоида в вершине конуса, вновь станет его образующей. Но все образующие этого конуса касаются избранной поверхности семейства и отраженный луч также будет касаться этой поверхности.
