Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
88 €нт к St можно найти, что скачок glXjKti должен описываться выражением
AlglxiXti] = HlxUkUtlt (3.23)
где Hiyi — некоторый симметричный тензор. Из выражения тензора Римана через glx,Xti и (непрерывные функции) gLXtXt ..., gLti (см. (1.39)) получим
AfllXM* = 1U iH iA^ + HyihUlU м-HaUyiUll—HycilUlUk) = = 2 HxHmhUlll. (3.24)
Подобно тому как в скалярном случае мы воспользовались уравнениями поля (волновым уравнением), чтобы доказать нулевой характер St используем теперь уравнение Эйнштейна в вакууме:
O = ARyill = A =swixm* =1UiHwU1U* +
+ HyilWull-Щи^—HmUlU'). (3.25)
Умножив последнее равенство Ha wpMff, антисимметризовав по xt р, а также ji, о с помощью (3.24), получим
(ARpxtla) (mvmv)=o. (3.26)
Итак, можем сделать вывод: тензор Римана в вакууме может испытывать разрыв (ARpxtia^O) на некоторой гиперповерхности S тогда и только тогда, когда она является нулевой гиперповерхностью (m1m1=o). Решением задачи Коши для системы уравнений Эйнштейна можно показать, что (аналогично случаям скалярного и электромагнитного полей) нулевые гиперповерхности являются характеристическими гиперповерхностями (см., напр., статьи Шо-ке-Брюа и Йорка в [8]). Пусть, далее, 5 — нулевая гиперповерхность. Тогда AflvxXn имеет структуру (3.24) и Hlll должно удовлетворять (3.25). Умножением (3.25) на mv и антисимметризацией по ja, V получаем HltlU1UvUx-HlvU1UtlUx=O. Обозначая Zfitl==HlilU1t будем иметь ZfitiUv=ZfivUtit так что Zfiti=KUti; вновь подставляя это в
(3.25), получим к = Следовательно,
HlllW=-^Hlull. (3.27)
По аналогии с дуальным тензором электромагнитного поля можно ввести два тензора, дуальных тензору Римана (см. (1.18) для определения eLxpa):
VW=y6w9oRp^ {3-28)
=Y ^p0 *Й- (3-29)
89 То же относится и к тензору Вейля Cuxfi (1.47). Можно показать (удобнее всего с помощью спинорных эквивалентов тензора Вейля; см., напр., [22]), что
(3.30)
(3.31)
(это равенство справедливо только в вакууме). Используя теперь (3.24) и (3.28), находим
Эти соотношения полностью аналогичны соотношениям (3.20) и (3.22 а) для электромагнитного поля. В § 3.2 мы покажем, что те же самые соотношения справедливы для тензора Римана плоской гравитационной волны, в § 3.3 увидим, что ту же самую структуру имеют главные члены в асимптотическом разложении тензора Римана вдали от островных излучающих систем. Гравитационное поле с таким свойством также называется нулевым полем или полем типа N.
Важность приведенных положений для ОТО состоит в том, что в отличие от электродинамики большинство результатов, касающихся гравитационного излучения, основано на приближенных методах, в адекватности которых в такой сложной нелинейной теории нет уверенности. Однако благодаря линейности уравнений Эйнштейна по вторым производным от gvv в точной теории оказался возможен анализ волновых фронтов.
Подробнее исследование более общих — «ударных» — гравитационных волн можно найти в [23, 24] и цитированной там литературе (наше изложение было модифицированной версией изложения в [24]).
Займемся теперь поиском в точной теории Эйнштейна решений, которые в пределе слабого поля переходят в плоские гравитационные волны линеаризованной теории тяготения (гл. 2). Вначале ограничимся самым простым случаем плоской волны с одной поляризацией, распространяющейся в положительном направлении оси z. Поскольку в линеаризованной теории можно выбрать такую систему координат (калибровку), что отличными от нуля будут лишь компоненты метрического возмущения hxx и Hyy (поляризацию с hxy?= 0 не рассматриваем), предположим, что линейный элемент точной метрики, описывающей плоскую гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси 2, имеет вид
AR^AR^=ARh^R^ = Oy AR ^и*=A* R1M11U11.
(3.32)
(3.33)
§ 3.2. ПЛОСКАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ВОЛНА
ds2 = dt2+f2dx2+g2dy2+dz2,
(3.34)
90 где f(u), g(u) — произвольные пока функции запаздывающего времени u=t—z. Удобно перейти к нулевым (светоподобным) координатам, Uy V1 где v=t+z играет роль опережающего времени. Тогда метрика (3.34) переходят в
ds2=—dudv+f2dx2+g2dy2. (3.35)
Линии с постоянными U=Uoy X=Xoy у=уо и переменным V (соответственно С ПОСТОЯННЫМИ V = Vq9 X=Xoy У=Уо И ПЄрЄМЄННЬІМ u) являются нулевыми (светоподобными) линиями: вдоль них ds2= =0. Прямым вычислением можно показать, что единственными отличными от нуля компонентами тензора Римана здесь являются
Kxu= -пи Ryuya= -g"/g> (3.36)
где f'=df/du.
Метрика (3.34), или (3.35), не будет описывать никакого истинного гравитационного поля (пространство-время будет плоским), если
f"=g"=0. (3.37)
Из (3.36) видно, что следствием уравнений Эйнштейна в вакууме может быть только уравнение
-Ruu=f"lf+g"lg=0. (3.38)
Прежде всего рассмотрим переход к линеаризованной теории. Если предположить, что fug имеют вид /=l+?, g=l—?, где ?= —?(u) — произвольная, но малая функция и (малость ее позволяет пренебречь ?2, ??" и т. п. по сравнению с единицей), то уравнение (3.38) с. точностью до линейных членов будет справедливым и метрика (3.34) примет вид
