Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
= V-YappYotv.,). (2.89)
где Yap=^ap- 1І2Ц<хрЬ (см. (2.20)). Если h^ является периодическим, усреднение надо сделать по одному периоду обычным образом
2л/ш
(например, (/(0)=(2^/(0)-1 J f{t)dt\ см. § 2.5). Тогда можно
о
показать, что тензор останется инвариантным при калиб-
ровочных преобразованиях (2.17), которые сохраняют периодичность Ziliv. Вообще говоря, если /luv содержит частоты, превышающие некоторую частоту со, и имеет характерную длину пространственного изменения меньше, чем со-1, то усреднение по пространственно-временной области размером L приведет к ^VB) калиб-ровочно-инвариантному до величин порядка 1/coL. Это усреднение
76 называется усреднением Брила — Хартля, его свойства будут подробно рассмотрены в гл. 4. Важно, что к тому же самому выражению (2.89) приводит в приближении высоких частот и усреднение комплекса Ландау-Лифшица (1.116), а также других предложенных выражений для энергии [10]. Эффективный тензор удовлетворяет обычному закону сохранения
Cv = O. (2.90)
В частности, в ТГ-калибровке получаем
CB)=^(hflA?Tv). (2.91)
OZTC
Для плоской монохроматической гравитационной волны, распространяющейся вдоль оси 2, когда Zitiv дано выражениями (2.79) и (2.80), легко показать, что единственными неисчезающими компонентами являются
Є = &в) = -€В) -^-со2(И+12+Их|2). (2.92)
(Вследствие усреднения по периоду члены, пропорциональные e±2ia{t—z) исчезают.) Выражение (2.92) имеет более общий характер: вдали от изолированного источника в небольшой области волны всегда можно считать плоскими, так что (2.92) локально описывает радиальный усредненный поток энергии в гравитационной волне островного источника. Такие источники мы теперь и будем рассматривать.
§ 2.5. ГЕНЕРАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН (ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ)
В § 2.2 мы вывели асимптотическую форму метрики произвольной островной системы тел, в которой источники движутся медленно по сравнению со скоростью света. Рассмотрим теперь только ту часть метрики, которая описывает гравитационное излучение на больших расстояниях от источника (пренебрежем членами 0(г~2)). Из (2.47) следует, что излучение вдали от источника полностью описывается тензором Ziltv, у которого Zioli=O и
hH^xs) =^ Dif (t-r)y (2.93)
где Dij — тензор квадрупольного момента (2.43), а точки над символами означают дифференцирование по времени. Чтобы получить метрику в 7Т-калибровке, воспользуемся (2.73), где в операторе проецирования (2.72) положим Hi=XiIr (единичный радиальный вектор), так что
Pij=Sij-XiXiIr2y (2.94)
77 поскольку из (2.93), зависящего от t—r, следует, что волны распространяются от системы радиально. Тогда
hl! = (t-r), (2.95)
3 г
где
DtJ =PirPjsDr Pij(PrsDrs)- (2.96)
Если выбрать координаты так, что волна распространяется по оси 2, т. е. я'= (0 ,0,1), то hll = hTJ = hlTy = 0 и
hll = (1/3г) (Dxx-Dyy) = -hll hll = (2/Зг) Dxy. (2.97)
Следовательно, поле излучения вдали от источника имеет, как и; ожидалось, характер плоской волны (см. § 2.4).
Поток энергии в радиальном направлении легко найдем с помощью эффективного тензора энергии-импульса гравитационной волны (2.91), подставив в него (2.95). Принимая во внимание только члены ~/—2, имеем
_ tiB) = (- 1/32 я) (hlZo hZ) = (1/32 я) <A^o ti?0) = t{ooB) = t{™\
(2.98)
т. е. тензор имеет ту же структуру, что и в случае плоской волны (см. (2.92)). Подставив Djf из (2.96), получим
- €В) = J = ^r (DijDii-WiAinitij + -i D4DrsUiUjUrUsX.
(2.99)
Таким образом, мы получили диаграмму направленности излучения, т. е. угловое распределение испускаемой энергии на больших расстояниях от системы тел в случае квадрупольного излучения. (У величин J VL L (мощность излучения) знаки среднего значения я ГВ опускаем.) Усредненную мощность L квадрупольного излучения найдем интегрированием по сфере радиуса г:
— ( = I = ^ г?в>г2sin QdQdy. (2.100)
Далее воспользуемся соотношениями
J UiYij sin 9d9dcp = (4я/3) ol7, J UiUjUrUs sin QdQdy =
= (4я/ 15)(6,Дв + ЪА, + й,6/г).
которые можно получить, если учесть, что интегралы должны быть пропорциональны тензорам, стоящим справа, определив коэффициенты пропорциональности специальным выбором i=j=r=s = z»
78 Окончательно получаем L= (1/45) (А/А/), или в размерных единицах
(2Л01)
Этот результат совпадает с (2.53), полученным с использованием комплекса энергии-импульса Ландау — Лифшица; только теперь еще проведено усреднение, благодаря чему f™ является тензором (как уже отмечалось, комплекс Ландау — Лифшица после усреднения переходит в этот тензор).
Аналогично мы могли бы получить для скорости убывание момента импульса усредненное выражение (2.54). В отличие от (2.101), которое после усреднения по характерным временным масштабам движения источника (в (2.101) уже входят величины, описывающие источник) является калибровочно-инвариантным, теряемый системой момент импульса даже после усреднения Брила — Хартля будет калибровочно инвариантен только в лоренцевой калибровке (2.22) [15]. Проблема момента импульса излучающих изолированных систем (даже в точной теории асимптотической структуры пространства-времени, которая будет обсуждаться в § 3.3) до сих пор до конца не решена [16] (см. также ссылки в 115, 16]).
