Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
ul = y, и} = х, и\ = г,
а при т = 2г
и$ = у* — г*, и\ = ху, и\ = х* — г2, и\ — гу, и\ = гх.
В сферических координатах г, ср, О, связанных
с декартовыми ортогональными координатами х, у, г
соотношениями
x = r cos ф sin О, у = г sin ф sin d, г = г cos О,
шаровые функции и%(х, у, г) принимают вид
и™(х, у, z) = rmYkm(ф, О), k = 0........2т, (58)
где Ym (ф, О) носят название сферических функций Лапласа.
Как уже было отмечено в пункте 1° § 1 главы I, наряду с функциями (58) гармоническими являются и функции
f*. = *). 6 = 0..2т. (59)
Записывая уравнение Лапласа ихх + иуу + игг = 0в сферических координатах:
1 д !гди\ , 1 Л , 1 д j лди\
§ 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
233
и требуя, чтобы функция и(х, у, г) вида
и(х, у, г) = К (ф, 0)ш(г)
была гармонической, в результате разделения переменных получаем
о, (60)
где Я. = const.
В частности, при A, = m(m+1) уравнения (60) и (61) примут вид
Jr{raw)~m^m+l^w = 0' (62)
S^^ + i5Td&(sin^^) + m(m + 1)y==0- (63) Множители и Ykm (ф, О) в выражениях (59) для
гармонических функций j ^ j являются реше-
ниями уравнений (62) и (63) соответственно.
Для того чтобы функция Y (ф, 0) вида
К(ф, 0)«Ф(ф)6(*)
была решением уравнения (63), функции Ф и 0 должны быть решениями уравнений
ф" + {1ф = 0, (64)
*UMs{n*S>)+[mim+l)~rfe]6=0 (65>
соответственно, где р. = const.
Из условия периодичности с периодом 2я функции Y (ф, О) относительно ф следует, что в уравнении (64) постоянная р. = п%, где п — целое число. В соответствии с этим в обозначениях cos О = t, 0 (О) = 0 (arccos t) = v (t) уравнение (65) запишется в виде
(1 _ *i) _ 2tv' + [т (т + 1) - v = 0. (66)
При л = 0 из уравнения (66) получается уравнение Лежанвоа
(1 - *а) v" - w+т (т +1) к - 0,
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
линейно независимые решения которого называются функциями Лежандра первого и второго рода, и для них
приняты обозначения Рт (cos 0) и Qm (cos ft).
Линейно независимые же решения Р„(сos О) и Q^,(cosO) уравнения (66) носят название присоединенных функций Лежандра первого и второго рода.
7°. Вынужденные колебания. Уравнением вынужденных колебаний струны называется неоднородное уравнение
д*ц д%и г,
дх% dt* f ^Х’ 0> (®7)
где f(x, t) — заданная действительная непрерывная функция.
Когда f(x, t) = fn(t) sin пх, решение ип(х, t) уравнения (67) естественно искать в виде ип (х, t) = wn (t) sin пх. Для определения w„ (t) из (67) получаем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение
а»;(о+я*»« (о—/«(о,
одним из частных решений которого, очевидно, является функция
t
и>п (0 “ — § А* (т)sln n(t — T) dx.
о
Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид
I
wn (t) = ап cos nt + bn sin nt—Xn^fn (t) sin n(t — t) dx,
где an и bn — произвольные действительные постоянные. Набор решений
«п (х, 0 = sin пх |а„ cos nt -f bn sin nt —
J Мфшп^-т)^, 2....
уравнения (67) позволяет исследовать смешанную задачу (67), (11), (14). Если функции ф [х) и ^(х) представляют
i 1. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 235
00
собой суммы рядов (16), a f(x, 0= M0slnn*> то> Д°_
пуская возможность почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов, решение и(х, t) смешанной задачи (67), (11), (14) можно выписать в виде
Заметим, что, когда краевые условия неоднородны, т. е. когда вместо (11) имеем и (0, t) = a{J), и (л, t) = = Р(0. где a(t) и р(<)—дважды непрерывно дифференцируемые функции, в результате замены и(х, t) = v(x, t) +
+ а(0 + ^[Р (0 — а(0] искомого решения и(х, t) уравнения (67), для определения v (х, у) получаем уравнение
с однородными краевыми условиями и (0, ?)=*и(я, t) = 0 и соответствующим образом измененными начальными условиями.
Аналогично исследуются вынужденные колебания мембраны.
§ 2. Метод интегральных преобразований
1°. Интегральные представления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Класс дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выписаны в элементарных функциях, весьма узок.
В предыдущем параграфе, пользуясь методом разделения переменных, мы старались строить решения дифференциальных уравнений с частными производными в виде суммы бесконечных рядов.
Порой удобно иметь решение рассматриваемого дифференциального уравнения в виде интеграла, содержащего
П = 1
00
и (ДС, 0=2 sin Я* °П cos п* + bn Sin nt —
0+tf(0 + -s[P'W-«'W]
236
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
известные функции, а также решения более простых уравнений.
Пусть имеется обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
L(y) = p(z)!f + q(z)y' + r(z)y = 0, (68)
коэффициенты которого являются аналитическими функциями комплексного переменного г, заданными на всей комплексной плоскости.
Решение у (г) уравнения (68) будем искать в виде интеграла
у(г)= \К(г, E)o(C)dS, (69)
с
где С — кусочно-гладкий контур, а(?) — пока еще неизвестная аналитическая функция, а К (г, ?) — аналитическая функция переменных г, С. удовлетворяющая уравнению
РМШ + ЧМШ + г(г)К = а?)Щ + Ь®Щ+с(С)К, (70)
причем а (С), b (?) и с (С) —заданные аналитические функции.
