Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
s s s
естественно называть комплексным интегралом по S от функции f{t).
Когда кривая S замкнута, направление обхода движения точки t при интегрировании по 5 называется положительным, если при этом обходе конечная область D, ограниченная контуром S, остается слева. Обратное направление обхода называется отрицательным, и при таком обходе пишем
s / (0 dC = -S/(?)«. (32)
s- S
На разомкнутой кривой 5 положительное направление обхода соответствует возрастанию действительного параметра t в записи ? = ?(<) уравнения кривой S.
Приведенные ниже основные свойства интеграла (31) являются непосредственными следствиями соответствующих свойств действительных криволинейных интегралов (30).
1) Если /* (?) — заданные на 5 непрерывные функции, а ск — заданные постоянные, то
т т
5 ? ? с* $ММ.
S к =*= 1 5
(33)
5 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
101
2) Если кривая S состоит из т дуг 5lt Sm, то
* т
2 $ т«. (34)
S к = 1 Sk
причем предполагается, что интегрирование по каждой Sk происходит в направлении, совпадающем с направлением интегрирования на S.
Когда 5 представляет собой совокупность попарно непересе-кающихся замкнутых кривых ц S0, S-l, ..., Sm, составляющих границу (т + 1)-связной ограниченной области D, причем Sx, ..., Sm лежат внутри конечной области D0 с границей So, то (рис. 9)
$/(?)<?=$/(?)<?-S S0
¦ X $/(?)#. (35)
4=1
Рис. 9.
3) Наряду с непрерывной функцией /(?) интегрируема и функция |/(0|, причем
|j/(S)dE|<j|/(OI|dt|</™||/(C)l. (36)
где / — длина S.
СО
4) Если ряд 2 М?) (последовательность {/*(?)}) за_
fe = I
данных на S непрерывных функций /й (?) равномерно сходится на S, то сумма /(?) этого ряда непрерывна (предел этой последовательности непрерывен) на S и
S fe = 1
k=l S
(37)
(38)
102
ГЛ. И. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
5) При комплексном интегрировании (31) замена переменного интегрирования производится по обычным правилам замены переменного в действительных криволинейных интегралах в левой части формулы (31).
2°. Теорема Коши. Если функция f(z) = u (х, у) + iv (х, у) аполитична в ограниченной области D с кусочногладким контуром S и функции и (х, у) и v (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в D\jS, то
S/(0« = о. (39)
s
В самом деле, преобразуя криволинейные ин.тегралы
(30) по формуле (GO), получаем
откуда ввиду того, что функции ы(|, т)) и о(|, т)).в области D удовлетворяют системе (CR), следует справедливость равенства (39).
Заметим (этим замечанием мы ниже будем пользоваться), что теорема Коши остается в силе и при более общих предположениях относительно S и f (?). В частности, равенство (39) верно и в тех случаях, когда от аналитической в области D функции f (z) требуется, чтобы она была лишь непрерывна в DU-S.
Из теоремы Коши непосредственно следует, что если функция f(z) аполитична в односвязной области D и точки z0, zeD, то
один и тот же по всем кривым, соединяющим Zo и г и лежащим в D, т. е. интеграл (40) не зависит от пути интегрирования (интеграл (40) берется по направлению движения С от Zo к г).
Действительно, пусть S и Si — две кривые, лежащие в D и соединяющие точки Zo и г. Так как в силу
2
(40)
S 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
103
формул (32) й (39) имеем
J /(?)« = - ^ /(?)#,
s7. s'
J/(C)dC+ J = J/(C)dt- J f{l)dl = 0,
s s- s s,
TO
J/C)dC= i /Ш4
s s,
Если 5 —окружность i?| — R, то для целых показателей n
J ?«Я = ( °\ Пф~1' (41)
Е1 = л I 2nt, « = — 1.
В самом деле,
2л т
J ?л d?, = \ (Rei't)n iRe/фdq. = iRa+1 J cos (n + 1) <p dq> —
ltl=« 0 0
i" I V, n Ф —1.
sinln+Hcpdp-j^ _________________
Пусть теперь D — ограниченная область с кусочногладкой границей 5, и рассмотрим
S
где п — целое число.
Когда п ^ 0 независимо от того, принадлежит или не принадлежит D U 5 точка г = 0, и когда п < 0 при условии, что точка г = 0 не принадлежит D|J5, в силу ана-
литичности функции гп на основании (39) имеем
= 0. (42)
s
Если п<0 и точка г = ОеО, то, удаляя эту точку из D вместе с замкнутым кругом г j sge достаточно малого радиуса е, лежащим в D, в силу формул (36), (39) и (41) мы можем написать
пФ—1,
5 м-L0'
s 1Е1“® I *л1> п — —I'
(43)
104
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
Из (42) и (43) следует, что для всех целых показателей п Ф — 1 интеграл
один и тот же по всем кривым, соединяющим точки г0 и г и не проходящим через точку г = 0 при п < — 1.
Для того чтобы вычислить интеграл (44) при 0, выберем в качестве пути интегрирования прямолинейный отрезок ? = z0 + (z — z0)t, В силу (31) и (33)
3°. Интегральная формула Коши. Теперь покажем справедливость следующей интегральной формулы Коши:
где D+ — конечная область, ограниченная кусочно-гладким контуром S, D~ — дополнение D+U*S до всей комплексной плоскости, а Дг) —аналитическая в D+ функция, непрерывная в D+IJS.
Когда z е D~, в силу аналитичности по ? функции
в D* и непрерывности ее в Db |J S, первое из равенств (46) не что иное, как равенство (39). Если же г е D+, то, удаляя эту точку из области D+ вместе с замк-
2
(44)
имеем
2 1
5 ?" dt = \ [г0 + (г - z0) t]n (z - z^dt =
