Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
67
Доопределим К (s, t) при t = s как
Учитывая то обстоятельство, что в силу непрерывности кривизны кривой S функции а, р, a't, % непрерывны по совокупности переменных, а а2 + Р2=й=0 для всех значений s, t на S, убеждаемся в справедливости сформулированного утверждения.
Из непрерывности функции К (s, t) следует, что потенциал двойного слоя (47) при х°е5:
имеет смысл и представляет собой непрерывную функцию х° на S.
2°. Формулы скачка для
ми первого и второго порядка
в области d' = d[)D+ вплоть до ее границы и удовлетворяющую условиям
Пусть а — часть окружности | х — х° | >= в, лежащая в области D+ (рис. 6).
Интегрируя тождество
по области 11' (в случае, когда точка xed'U'S', ЭТУ точку
(49)
s
интегральному уравнению.
Пусть d — круг | х — х? | < е с центром в точке *®eS достаточно малого радиуса е, a S'-часть S, лежащая внутри d. Обозначим через v (х) функцию, непрерывную вместе со своими производны-
потенциала двойного слоя и редукция задачи Дирихле к .
S
Рис. 6.
(50)
2
= log 11 — XI Aw — i>A log 11 — x |
fit
68
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
следует выделить из d! у S’ вместе с замкнутым кругом |5 — х 1=^5 достаточно малого радиуса б, брать интеграл по оставшейся части области d' и устремить б к нулю) и учитывая равенства (50), мы можем написать
S' о
-Wg^l°g!5-x|)ds6 + flWw (*) = J log l-xlAvdTfr (51)
d'
где
!2л, х е d',
я, не S', (52)
0, je D~.
Записывая потенциал двойного слоя (47) в виде
“ We“ к Щ l0S * -х1 dst - 1 J у. A bg i 1-.х |<Ц,
где S" — часть S, лежащая вне круга d, и пользуясь равенством (51), получаем
'l-x ds^ +
S*
+ aKD^1^,6“*l”logl*-“*lfe)dsl+
а
+ ^ j logll-x Avdx,-~q{x)v(x). (53)
Интегральные члены в правой части (53) непрерывны при переходе точки х из области D+ в область D~ через х°. С учетом этого обстоятельства и равенств (52) для величин
и(х°), и+(х°)= lim и (х), и~(х0)— lim и(х), ^eS,
* х-»х°
isflt jeD-
получаем соотношения
и+ (х?) - и (х°) *-](i (х°), (54)
{г(*°)-ы(хи)» ‘ (55)
§ 4 ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО слоя
69
Таким образом, мы пришли к заключению, что потенциал двойного слоя (47) при претерпевает
разрыв со скачками, выраженными формулами (54) и (55).
Ввиду того, что интегральные члены в правой части (53) непрерывно дифференцируемы при переходе точки х из D" в D- через точку хна основании (50) и (52) заключаем, что существуют пределы
.. ди / ди \+ ,. ди / ди \-
* fox ~~ (дчГо) ’ , fox ~ ’
isfl+ xefl-
причем
N+ _ /_ди \-&vZj \dv.
Установленные выше свойства потенциала двойного слоя остаются в силе и при более слабых предположениях относительно гладкости границы S области D и функции [i, например при требовании одной лишь непрерывности ц..
Решение и(х) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D+ с краевым условием
и+ (х°) = g (х°), x°gS, (56)
в случае непрерывности кривизны кривой S и функции g(x°) будем искать в виде потенциала двойного слоя (47) с неизвестной плотностью [i.
Для того чтобы представленная формулой (47) гармоническая в области D+ функция и (х) удовлетворяла краевому условию (56), в силу (48), (49) и (54) мы должны иметь
\i{x)+\K(s, t)\i(t)dt = — 2g{s). (57)
Равенство (57) представляет собой относительно |i линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Ниже в пункте 1° § 3 главы V будет доказано, что интегральное уравнение (57) имеет единственное решение ц. Следовательно, мы приходим к заключению, что потенциал двойного слоя (47), плотность |i которого удовлетворяет интегральному уравнению (57), представляет собой решение задачи Дирихле с краевым условием (56) и тем самым существование решения атой задачи доказано,
70
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана. Потенциалом простого слоя масс, распределенных по поверхности S с плотностью р., называется функция
и 1х) = ^ \ е (х, I) ^ (?) dsb (58)
п s
гармоническая во всех точках х пространства Еп, не лежащих на S, и стремящаяся к нулю, когда |je|^>-oo при п> 2.
В случае же п = 2 имеем
“ W i \ 1о2J* (I) (59)
s
ИЛИ
и w=г1 $ d%+i $ 1о§ ТТ=Т\ * ® dsb
S S
откуда следует, что lim и(х)== 0 лишь при условии, что
IX |-»<Х>
5 fi (i) ds* = 0.
s
При изучении свойств потенциала простого слоя ограничимся рассмотрением случая п — 2 в предположениях непрерывности кривизны кривой S и дважды непрерывной днфференцнруемости функции ц..
Повторяя процедуру, использованную выше при выводе формулы (53), стой лишь разницей, что на этот раз и(х) берется по формуле (59), a v (х) вместо (50) удовлетворяет условиям
t,M==0, ¦^°W=sliW* x<=S', (60)
получаем
J log||-*|[i(?)<&*+
S'
+ ^ —II —-ИМ
log || — л j dx^. (61)
§ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО слоя 71
В силу формулы (61) потенциал простого слоя (59) представим в виде
«(*) = — Ш \ log|?-*ifi(|)dsj-
S"
-iS(t’^rlo8ll_x|_log'l_xl^r)dS| +
а
+ jj log||-x| AwdT5. (62)
Из формулы (62) в силу непрерывной дифференцируемости интегральных членов в правой части всюду в Ег вне дуг S' и о с учетом равенств (52) и (60) заключаем, что при переходе точки х из области D+ в область D~ через точку х°е S потенциал простого слоя (59) остается
