Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
условием, которое заключается в том, что при t = = - оо Wi совпадает с
плоской волной. Величина Sfi равна скалярному произведению 47 (при /-
>+оо) и (дс, t), где Ф/(дс, 0 - плоская волна с квантовыми числами /
конечного состояния. Для того чтобы переписать (16.60) в виде,
аналогичном (16.59), рассмотрим точное решение 4*7 (*> 0 уравнения
Шредингера с граничным условием при 4*7 (*, О-*
-> (дс, t). Функция 4*7 (дс, t) состоит из плоской волны и из
суперпозиции сферических волн, сходящихся при /-*-оо к рассеивающему
центру и исчезающих при t-> + 00• Эта функция представляет решение
уравнения Шредингера (6.14), в котором запаздывающая функция Грина
заменена на опережающую
4*7 (х') " *Pf (х') + 5 A'G°dv (х'' х'^ у О6,6*)
где
Ggdv (дс', дс', t[) - 0 при tf > t[.
Так как 47 (дс', t')-> cpf (*', t') при /'-"•-Ь оо, то из (16.60)
получаем
S{i = lim (Ч^Г (дс, t), 4t{x, 0) =
t-> 00
= lim \ d3xWf*(x, 0) eiHte~mtWf (x, 0) =
t->oo ^
*= (Wf (x, 0), 4?t (x, 0)), (16.62)
где 4я (дс, 0) - волновая функция в гейзенберговском представлении, из
которой выделена ее временная зависимость. Уравнение (16.62) представляет
аналог (16.59) с волновыми функциями, удовлетворяющим in- и out-граничным
условиям.
Из (16.59) и предположения о полноте in- и out-состояний следуют
выражения для матричных элементов оператора 5
<Рin 1S = <рout |, (pout | S_1 = (|5 in |, (16.63)
откуда
5pa - <p in 1 51 a in).
S-матрица играет центральную роль в динамических вычислениях, поскольку
ее матричные элементы непосредственно связаны с измеряемыми на опыте
физическими амплитудами. Используя наши предположения о спектре
состояний, а также свойства операторов qpin(*) и <p0ut(*), сформулируем
далее важнейшие ее свойства.
154 6АДУУМНЫЁ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
1. Стабильность вакуума означает, что |Soo| = 1 или
(О in 15 = (0 out | = е1ч>° (0 in |.
По определению вакуумное состояние единственно. Полагая фазу фо равной
нулю, получим
(О out | = <0 in | = <01 (16.64)
и Soo = 1 •
2. Стабильность одночастичного состояния в свою очередь означает
(pin |S| рin) = (pout |рin) = (pin |рin) = 1, (16.65)
поскольку, согласно (16.54), |p in) = |pout) = |p).
3. S-матрица преобразует in-поля в out-поля:
TinW^^outWS-1. (16.66)
Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент <Р out I Фоы W I a in) =
(p in 15фоц1 (x) | a in).
Поскольку (P out | фои1 (x) есть out-состояние, то в силу (16.63)
(Р out | фои( (х) = (Р in | ф,п (х) S, откуда
(Р in | ф1п (х) S | a in) = (р in 15фоц1 (х) \ а in).
Поскольку in-состояния образуют полный набор, то из последнего равенства
следует выражение (16.66).
4. S-матрица унитарна. Действительно, из (16.63) получаем
S+1 a in) = | a out). (16.67)
Следовательно,
(р in | SS+1 a in) = (Р out 1 а out) = 6ра (16.68)
и
SS+ -S+S= 1. (16.69)
5. S-матрица трансляционно и лоренц-инвариантна '), т. е.
U (a, b) SU~l (a, b) = S, (16.70)
') Следует иметь в виду, что в квантовой электродинамике выполнение
одного только условия (16.70) еще недостаточно для градиентной
инвариантности теории. Действительно, чтобы восстановить в новой системе
координат калибровку излучения, каждое лоренцево преобразование нужно
дополнить соответствующим градиентным преобразованием. Поэтому в
квантовой электродинамике следует дополнительно установить градиентную
инвариантность S-матрицы.
§ 108]
РЕДУКЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СКАЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ
155
где U(a,b) - определенный выражениями (11.66), (11.69) и
(11.72)-унитарный оператор, генерирующий преобразование координат
К = а,Х + V
Для доказательства подставим (16.66) в уравнение (11.67), выражающее
закон преобразования полевых операторов
ф1п (ах + b) = U (a, b) <pin (л:) U~l (а, Ь) =
= t/S"P0UtM 5_1?/_1 = USU~\jax + b) US-'U-1. (16.71)
Учитывая далее, что tpm (ах -f b) - 5фои( (ax -f b) 5_1, немедленно
получаем (16.70).
§ 108. Редукционная формула для скалярных полей
Сформулировав общие свойства 5-матрицы и интересуясь далее ее матричными
элементами, квадрат которых |5ра|2 имеет смысл вероятности
экспериментально наблюдаемых переходов между in-состояниями а и out-
состояниями р, мы сталкиваемся, однако, с весьма нетривиальной задачей их
реального вычисления.
До 1954 г. единственный систематический метод вычисления 5-матрицы
основывался на использовании рядов теории возмущений по степеням тока /
(х) в (16.13). После проявления работ вначале Лоу [58], а затем Лемана,
Шиманзика и Циммермана [12, 13] (LSZ) возник новый подход к этой
проблеме, основанный не на разложении по степеням малой константы связи,
а на использовании общих свойств 5-матрицы. Асимптотические условия
(16.20) и (16.50) позволяют выразить интересующие нас матричные элементы
в терминах вакуумных средних полевых операторов. Мы уже видели
преимущества такого подхода при вычислении полевого коммутатора в
(16.40). При этом мы получили общее выражение для функции А'(л: - х'),
используя только лоренцеву инвариантность и некоторые весьма общие
свойства теории.
