Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
и коммутационные соотношения для ферми-полей
{лг (х, (), ф* (*', 0} = + гб3 (* - *0
то из
ЗС/(рг(х, /)/~'C'V~' = ЧгФг (- *, -0 (15.159)
136
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЙ
[ГЛ. 15
следует, что
= - *. -0 = - ПгФг(-х, - О
и
&Cfnr(x, -0.
Отсюда заключаем, что
(pCfze(х, ог'с'г^жд*, -о, откуда следует (15.148), и f С^-теорема
доказана1).
ЗАДАЧИ
1. Показать, что в калибровке излучения DA - eojtr, и построить оператор
поперечного тока.
2. Показать, что в низшем порядке по е0 зарядовая плотность вакуума
кубично расходится.
3. Проверить, что в квантовой электродинамике полный заряд сохраняется,
т. е. что [Q, Н] = 0.
4. Проверить гейзенберговские уравнения (15.18).
5. Проверить формулы (15.20) и (15.21) преобразования полевых операторов
при преобразованиях Лоренца.
6. Дополнить доказательство лоренцевой инвариантности квантовой
электродинамики в калибровке излучения, проверив инвариантность
одновременных коммутаторов (15.9) и (15.10).
7. Проквантовать поле заряженной скалярной частицы, выбрав калибровку А0
= 0 и добавив в лагранжиан, как и в задаче 14.3, член с массой фотона -
%2А2(х), где к2 мало. Соответствующий лагранжиан выписан в примечании на
стр. 94 и в приложении Б (см. т. 1).
8. Проделать те же выкладки для заряженной дираковской частицы.
9. Используя условие (15.41), проверить справедливость гейзенберговских
уравнений движения для изотопически-инвариантного мезон-нуклонного
взаимодействия (15.40). Что получится при попытке построить теорию с этим
гамильтонианом, в которой поля протона и нейтрона коммутируют друг с
другом?
10. Проверить, что для модельного лагранжиана (15.30) число нуклонов,
изотопический спин и заряд сохраняются; в явном виде построить
соответствующие константы движения, используя теорему Нетер.
11. Выписать общий вид лагранжиана билинейного по восьми барион-ным
полям, линейного по бозонным полям (без связей с производными) и
инвариантного при преобразованиях, генерируемых операторами барионного
числа, изотопического спина, заряда и странности. Ввести в этот
лагранжиан электромагнитную связь и вычислить сохраняющиеся токи.
12. Разложив поле по сферическим волнам и используя свойства сферических
гармоник, проверить уравнение (15.75).
13. Вывести уравнение (15.93) для оператора четности поля Дирака.
14. Построить оператор четности для электромагнитного поля и проверить
инвариантность лагранжиана и перестановочных соотношений в квантовой
электродинамике при пространственных отражениях.
') В аксиоматическом методе доказана изящная теорема о связи
преобразования, спина, статистики и слабой локальной коммутативности
[51].
ЗАДАЧИ
137
15. Проверить инвариантность уравнения Дирака и коммутационных
соотношений (13.53) и (13.54) при зарядовом сопряжении. Вывести формулы
(15.116) и (15.117).
16. Показать, что при зарядовом сопряжении векторный и тензорный токи,
построенные из билинейных форм дираковских полей, нечетны, а скалярный,
аксиальный и псевдоскалярный токи четны. Обсудить CP-инвариантные
лагранжианы для (1-распада.
17. Построить оператор С для лагранжиана (15.30).
18. При классификации сильно взаимодействующих частиц удобно использовать
преобразование G-eln,2C. Выяснить, как барионы и мезоны преобразуются под
действием этого оператора. Показать, в частности, что я-пионное состояние
с Q - 0 имеет G-четность, равную (-1)".
19. Построить оператор / для я-мезонного поля, удовлетворяющий
соотношениям (15.132).
20. Как при обращении времени преобразуется состояние, содержащее право-
поляризованный фотон?
21. Проверить уравнения (15.141) и (15.143).
22. Построить феноменологический слабый лагранжиан для лептонов, нуклонов
и мезонов, основываясь на идеях, обсуждавшихся в гл. 10. Обсудить
соответствующие законы сохранения и свойства симметрии лагранжиана.
23. Как зависят фазы Ф(р, s) в формулах преобразования операторов Ь и d+
при зарядовом сопряжении (см. стр. 124) от импульса р и спина s?
Показать, что при вычислении на стр. 125 функции 0, описывающей состояние
позитрония с данным L и S, этими фазами можно пренебречь.
ГЛАВА 16
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
§ 102. Введение
Цель квантовой теории поля как физической теории состоит в динамическом
описании наблюдаемых на опыте взаимодействующих частиц. В предыдущих
главах мы уже видели, как при формальном квантовании классических полей
возникает интерпретация в терминах частиц и как при построении
лагранжианов учитываются свойства симметрии взаимодействия и определяются
константы движения. Нам остается теперь задача изучения и вычисления
различных матричных элементов, описывающих динамику взаимодействующих
частиц.
Мы интересуемся как амплитудами, отвечающими распространению в
пространстве-времени одной частицы, т. е. одночастичными функциями Грина,
так и амплитудами перехода между различными начальными и конечными
состояниями, т. е. 5-мат-рицей. Одним из главных результатов здесь
является обоснование, исходя из формализма теории поля, фейнмановских
