Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[пк (х, /), я;(д:', 0] = 0, (14.13)
[я'(*. t), А°(х', 01 = 0.
Мы видим, что скалярный потенциал оказывается выделенным, в результате
теряется явная ковариантность теории. Поскольку импульс я0(ж),
сопряженный А°(х), равен нулю, А°(х) коммутирует со всеми операторами и,
следовательно, является не оператором, а с-числом в противоположность
пространственным компонентам Ак(х). В этом месте нам приходится
пожертвовать лоренцевой ковариантностью. Продолжая рассмотрение
канонического метода квантования, мы, однако, имеем в виду, что исходные
уравнения лоренц-коварианты. И хотя в дальнейшем мы будем сталкиваться со
многими выражениями, которые не лоренц-, не градиентно-инвариантны, в
конце концов мы обнаружим, что наши физические результаты - амплитуды
перехода (S-матричные элементы)-лоренц-инвариантны и не зависят от выбора
калибровки.
5 83] КВАНТОВАНИЕ 79
Для одновременных коммутаторов между потенциалами Aj(x',t) и сопряженными
импульсами nk(x,t) канонический метод дает ')
[яг(ж, 0, А,{х', t)\ = -[El{x, 0, А!(х', /)] =
= - г6г/б3 (х - х'). (14.14)
Однако эти уравнения противоречат уравнениям Максвелла. Закон Гаусса
V-? = 0
не содержит производных по времени и накладывает ограничение на
электрическое поле. Поэтому дивергенция от левой части
(14.14) равна нулю, а дивергенция от правой части, содержащей б-
функцию, нулю не равна. Удобно записать эту дивергенцию, переходя к
импульсному пространству:
Е Ж V' <* - *3 =' S -Ц(14.15)
i = I '
Отсюда видно, что для того, чтобы получить равную нулю дивергенцию от
правой части (14.14), необходимо модифицировать величину 6t/63(x - х'),
вводя в ее фурье-разложение член, пропорциональный kj. На самом деле этот
член должен быть пропорционален kikj - единственному тензору второго
ранга, который (помимо б,/) имеется в нашем распоряжении. Коэффициент при
kikj однозначно определяется из условия обращения в нуль дивергенции, в
результате рецепт получения "поперечной б-функ-ции", т. е. функции с
равной нулю дивергенцией заключается в замене
6,/63 (х - х') -> б{} (х -*') = $ - -^). (14.16)
При этом коммутаторы (14.14) заменяются на
W {X, i), А1 {х' 0] = + (X - х'). (14.17)
Отсюда следует, что величина V •А коммутирует со всеми операторами,
поскольку дивергенция по х' от правой части (14.17) равна нулю. То, что V
•А является с-числом, следует уже из определения Е через А и Ф и закона
Гаусса
0 = V • 2? = - У2Ф - V • А. (14.18)
Поскольку мы уже знаем, что Ф есть с-число, таковым является и
V-А, за исключением, быть может, вклада членов, отве-
чающих нулевой частоте.
') Согласно уравнениям (14.10) и (14.11) я1 сопряжен Л( = -А',
80
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1ГЛ. 14
Таким образом, продольная часть вектора А (т. е. компонента А в фурье-
пространстве, параллельная волновому вектору) и скалярный потенциал в
действительности не являются динамическими степенями свободы. И
действительно, при подходящем выборе калибровки величины V-А и Ф можно
сделать равными нулю. Опишем соответствующее градиентное преобразование,
причем выполним его в два этапа. Вначале выполним преобразование
t
Л^Лц-(14.19)
о
в результате которого обращается в нуль скалярный потенциал. Для того
чтобы устранить затем продольный потенциал, найдем функцию Л(х),
удовлетворяющую уравнению
0 = V- A" = V- A' + V2k{x).
Выбрав Л в виде
мы обращаем продольную часть потенциала в нуль, причем с учетом равенств
(14.18) и Ф' = 0, получаем
= 0 и Ф" = Ф' = 0.
dt
Калибровка, в которой
ф = 0, V • Л = 0, (14.20)
называется калибровкой излучения. В дальнейшем мы будем работать именно в
этой калибровке, теряя при этом лоренцеву и градиентную ковариантность
теории. Преимуществом же калибровки излучения является то, что формализм
теории содержит только две поперечные степени свободы поля излучения.
§ 84. Ковариантность и процедура квантования
Рассмотренный выше метод квантования может считаться удовлетворительным
только в том случае, если коммутационные соотношения (14.13) и (14.17)
сохраняют инвариантность теории при пространственных вращениях и
трансляциях. Что же касается лоренцевых преобразований, то неинвариантные
относительно этих преобразований члены должны компенсироваться в
результате изменения калибровки,
§ 84] КОВАРИАНТНОСТЬ И ПРОЦЕДУРА КВАНТОВАНИЯ 81
Трансляционная инвариантность будет гарантирована, если выполнено условие
(11.70), где определяется из теоремы Нетер (11.49)
ро = н = j J d3x: Е2 + В2: = \ \ d3x: А2 + (V X А)2:,
3 (14.21)
P=\d3x:EXB: = -\d*xYJ' AfVAi:.
i-1
Двоеточия в (14.21), как и в теории скалярного поля, означают нормальное
упорядочивание. Аналогичным образом можно проверить выполнение условия
(11.73), подставив для пространственных компонент Л4г/, г, / = 1, 2, 3,
определенных согласно
(11.57), выражения - з
Мц =\d3x: ? Ar(x' ^Аг - (А1 А1 - А1 А{):, (14.22)
причем тензор 2^ в (11.57), согласно (11.54), равен
Zlrl = girg{-glg/r- (14-23)
Наконец, преобразование, описывающее переход между двумя лоренцевыми
