Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
- Фх (х') {фа (х), Фт (х')} Фз (X) = 0 для (х - x'f < 0. (13.66)
Так как все амплитуды, которым можно придать тот или иной физический
смысл, например плотность заряда или импульса, содержат билинейные
произведения операторов и удовлетворяют условию (13.66), то теория
Дирака, так же как и теория Клейна - Гордона, согласуется с нашим
интуитивным представлением о микропричинности.
$81)
ФЕЙНМАНОВСКИЙ ПРОПАГАТОР В ТЕОРИИ ДИРАКА
73
§ 81. Фейнмановский пропагатор в теории Дирака
В заключение построим одночастичную функцию Грина, соответствующую
фейнмановскому пропагатору в позитронной теории. Амплитуда, описывающая
рождение позитрона в точке х = (ж, t), равна
= < (*)Ю>,
где индекс а = 1, 2, 3, 4 нумерует спинорные компоненты. Амплитуда,
описывающая распространение этого электрона в точку х' (при t'>t),
описывается спин-тензором
<01 Фз (х') фц (х) | 0) 0 (/' - /). (13.67)
Согласно результатам гл. 6 фейнмановский пропагатор не зану-ляется при t'
< t, поскольку наряду с распространением электрона он описывает также
распространение позитрона с положительной энергией, рожденного в точке х'
и движущегося вперед во времени в точку х, где он уничтожается. Как и в
уравнении Клейна - Гордона, соответствующая амплитуда получается
перестановкой операторов в (13.67):
<0|ф+(УЬ3(*)|0>. (13.68)
Каждая из амплитуд (13.67), (13.68) увеличивает на единицу заряд в точке
х' и уменьшает его на единицу в точке х\ взяв их разность, мы получим
полную функцию Грина. Определим далее функцию SP(x',x) соотношением
(SP (х', х) у\а = - i <01 % (х') (х) | 0) 0 (/' -/) +
+ i <0 I < (х) % (х') 10) 0 (/ - t'), (13,69)
Легко проверить, что (*Yx' т)к$ ($Р (х > х) Y°)3a ~
. = Yap <01 {% (*'), Ф"+ (X)} 1 0) 6 (*'-/) = yLs4 (х' - х),
или
(/V*- - т) SF (х' - х) = 64 (х' - х). (13.70)
Функция Sf(x' - х) совпадает с фейнмановским пропагатором, который мы уже
определили и постоянно использовали в первом томе при рассмотрении
позитронной теории. Непосредственное вычисление матричных элементов в
(13.69) приводит к знакомой сумме по волновым функциям (6.48).
В квантовой теории поля мы приходим к функции Грина, рассматривая
электроны и позитроны с положительной энергией,
74
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
которые всегда движутся вперед во времени. Действительно, и те и другие
симметрично содержатся в выражении (13.69), причем относительный знак
двух членов в (13.69) выбран так, чтобы получить затем антикоммутатор в
формуле (13.70). В по-зитронной же теории мы рассматриваем
распространение заряда, который движется либо вперед, либо назад во
времени в зависимости от знака энергии. Подобное отождествление позитрона
с положительной энергией, движущегося вперед по времени с электроном с
отрицательной энергией, движущимся назад во времени, уже встречалось в
гл. 5.
Фейнмановский пропагатор (13.69) играет центральную роль при различного
рода вычислениях в теории поля. Его можно выразить в более компактной
форме, если ввести хронологиче-ски-упорядоченное произведение полей,
которое уже встречалось в (13.69) на примере уравнения Клейна - Гордона.
Для того чтобы учесть знак минус в (13.69), мы изменим определение Г-
операции, вводя минус для каждой перестановки полей, которые квантуются с
антикоммутаторами. Другими словами, для двух полей Ферми - Дирака а(х) и
Ь(х)
Т (а (х) b (х')) = а{х)Ь (х') В (t - t') - b (х') а (х) 0 (/' - t)~
- - Т (Ь {х') а (х)). (13.71)
В результате фейнмановский пропагатор равен
(*'. *)*, = -- г (0 | Г (фр (*'), ф"+ (х)) 10). (13.72)
ЗАДАЧИ
1. Выписать л-частичный гамильтониан в уравнении ' Шредингера и в
квантовой теории поля с учетом двухчастичных потенциалов взаимодействия.
2. Доказать, что 9№iV*' = 0 и что оператор Afv?l = V d3x 9R0v?l равен
ддг J
не зависящей от времени константе.
3. Проверить (13.54) и (13.56).
4. Вывести уравнения (13.63); получить соответствующий результат в р-
пространстве.
ГЛАВА 14
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 82. Введение
Поскольку электромагнитное поле является классической наблюдаемой,
казалось бы, что его квантование следует рассмотреть в первую очередь. По
иронии судьбы, однако, из всех рассматриваемых полей это поле наиболее
трудно для квантования. В частности, наиболее распространенный метод
квантования электромагнитного поля, развитый Гупта и Блейером [23],
противоречит одному из важнейших принципов теории поля, которого мы до
сих пор неукоснительно придерживались, - постулату положительной
вероятности. Возможен тем не менее и канонический метод квантования. В
действительности именно каноническим способом и было в 1929 г. впервые
про-квантовано электромагнитное поле [24]. Однако этот способ обладает
тем недостатком, что процедура квантования не обладает явной
ковариантностью. Метод Гупта - Блейера, возникший лишь двадцать лет
спустя, был стимулирован развитием современной техники ковариантного
вычисления в теории поля. Этот метод обеспечивает ковариантную
формулировку квантования, хотя и ценой потери ясной физической
