Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
' г-
8)
Рис 19.37. Член с вычитанием в вершинной вставке (а) и связанные с ним
расходящиеся внутренние интегрирования (б), (в) и (г).
использовании теоремы Гейне - Бореля. За деталями доказательства мы
отсылаем интересующегося читателя к оригинальной статье [119].
Теорема Вайнберга позволяет свести задачу установления сходимости членов
в перенормированном ряду теории возмущений к выявлению всех субграфиков
5, для которых D(S)^ 0. Более того, поскольку, согласно (19.62),
неотрицательные степени расходимости имеют только вершинная и собственно-
энергетическая вставки, мы можем сразу выделить те субграфики, которые
являются потенциальными источниками расходимостей в фейнмановских
интегралах. Эти субграфики фактически представляют те части диаграмм,
которые в § 140 мы заключали в ящики, выделяя тем самым вершинные и
собственно-энергети-
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ
339
ческие вставки. Как было обнаружено выше, эти вставки можно однозначно
определить так, чтобы они не перекрывались. Исключение представляют
вставки в собственно-энергетическую часть.
На рис. 19.36,6 указаны все субграфики для диаграммы 19.36, а, которым
отвечают расходящиеся внутренние интегрирования. Некоторые из этих
субграфиков содержат несвязанные диаграммы. Достаточно, однако,
рассмотреть только связанные субграфики; действительно, если степень
расходимости всех связанных субграфиков отрицательна, то и степень
расходимости несвязанных субграфиков тоже отрицательна.
Член с вычитанием в вершин-
Рис. 19.38. Фотонная собственно-энергетическая диаграмма четвертого
порядка
Рис. 19.39. Области в /] - ^-пространстве и соответствующие степени
расходимости.
ной функции1) изображен на рис. 19.37, а. Этот член окружен пунктирной
линией, соответствующие расходящиеся внутренние интегрирования указаны на
рис. 19.37,6, в и г. Отметим, что внутреннее интегрирование, указанное на
рис. 19.37,6, которое сходится в том случае, когда вершина не содержит
вычитаний (см. рис. 19.36), с учетом вычитаний расходится, причем
расходимость возникает при интегрировании внутри вершинной вставки. Этот
результат, очевидно, имеет общий характер: рассуждения на стр. 334
показывают, что вычитания приводят к расходящимся внутренним
интегрированиям только в том случае, когда они производятся внутри
вершинных и собственно-энергетических вставок.
Отдельная проблема возникает при рассмотрении вершинных субграфиков,
перекрывающихся внутри собственно-энергетических частей. Примеры таких
субграфиков изображены на рис. 19.38 в случае фотонной собственно-
энергетической части четвертого порядка. Полная степень расходимости,
согласно
(19.62), равна нулю, поскольку две степени импульсов в подын-
¦) Учет субграфиков, содержащих вставку вакуумной поляризации не приводит
к каким-либо новым следствиям или проблемам: эти субграфики мы здесь не
рассматриваем.
340
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
тегральном выражении необходимо изъять для образования тензора в
выражении (19.51) для П^- Кроме того, существуют
3) е)
1 J
ж)
Рис. 19.40 Субграфики, отвечающие фотонной собственно-энергетической
диаграмме четвертого порядка
три области, указанные на рис. 19.39, которым отвечают три субграфика на
рис. 19.40, а, бив:
о) h - h мало '), D(a) = - 2,
б) 12 мало, D(6) = 0,
в) 1\ мало, D (в) = 0.
>) Поскольку внешние импульсы могут быть выбраны так, чтобы от них
зависел каждый внутренний нмпульс субграфика (а), степень расходимости
D(a) уменьшается при вычитаниях, содержащих внешние импульсы.
§ Н7|
КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ
341
На рис. 19.40 указаны также субграфики (г, д, е и ж), зависящие от
вычитательных членов, возникающих при перенормировке вершинных вставок.
Этим субграфикам отвечают следующие области в 1\ - /г-пространстве
г) 1\ мало, D(a) = 0,
д) /2 мало, D(d) = 0,
е) 1\ мало, D(e) = 0,
ж) 12 мало, й(ж) = 0.
При вычитании расходящихся выражений в вершинных функциях степень
расходимости каждого из указанных субграфиков становится отрицательной.
Точно так же после вычитания в собственно-энергетических частях
становится отрицательной и полная степень расходимости всей диаграммы.
Детальное обсуждение случая перекрывающихся расходимостей впервые было
дано Саламом [112].
§ 147. Доказательство конечности
перенормируемой теории
Мы можем теперь приступить к доказательству конечности
5-матрицы в квантовой электродинамике в любом порядке разложения по
перенормированному заряду е. Итерация уравнений (19.51) позволяет
вычислить перенормированные функции Гц, Sp, Dp и г и 5-матричные элементы
в виде рядов по степеням е, при этом в каждом порядке по е результат
выражается конечной суммой фейнмановских интегралов. Вопрос о сходимости
этих интегралов решается с помощью теоремы Вайнберга, а именно: интеграл,
отвечающий данной диаграмме, сходится, если степени расходимости всех
субграфиков, равно как и степень расходимости диаграммы в целом,
отрицательны.
Наше доказательство основано на методе математической индукции. В
