Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
случае, однако, вместо интегрального уравнения можно использовать
тождество Уорда и тем самым отмеченную трудность удается избежать. Именно
в этом пункте и проявляется практическое преимущество использования
тождества Уорда.
§ 145. Аналитическое продолжение
и промежуточная перенормировка
В предыдущих параграфах мы ввели алгебраический и топологический аппарат,
необходимый для выполнения перенормировки. В частности, в § 144 мы
выписали полный набор уравнений, определяющих Sf, Df, Гц, Аай, ув и
итерация которых позволяет вычислить эти величины в любом порядке по
перенормированному заряду е в виде конечной суммы фейнма-новских
интегралов. Подчеркнем, что при этом мы получаем не замкнутое выражение,
а ряды по степеням е, В этом месте мы приходим к узловому пункту метода
перенормировок. Мы должны теперь член за членом перебрать все
фейнмановские интегралы и показать, что они конечны и что поэтому
перенор-
1) Наиболее смелым предположением этой главы, о котором не следует
забывать, рассматривая топологические свойства различных фейнмановских
диаграмм, является следующее: мы предполагаем, что оба разложения, как по
степеням е2, так и е2, равномерно сходятся, несмотря на то, что величины
Zu SF, Df и Гц все выражаются расходящимися интегралами и зависят от
обрезания.
§ 145]
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
323
мированный ряд теории возмущений представляет ряд конечных, т. е. не
зависящих от обрезания, членов. Вопросы же, связанные с установлением
сходимости полного ряда, мы здесь вообще не будем рассматривать.
В этом параграфе мы обсудим одну техническую проблему, не связанную
непосредственно с теорией перенормировок, а возникающую при установлении
критерия сходимости для фейнмановских интегралов. Как мы обнаружили в гл.
18, знаменатели (р2 - т2)~' в фейнмановских интегралах могут при
некоторых значениях кинематических переменных обращаться в нуль. Это
обстоятельство приводит к дополнительным трудностям при анализе
расходимостей. В методе перенормировок, однако, мы интересуемся лишь
ультрафиолетовым поведением подынтегральных выражений при р2->-оо,а не
сингулярностями, которые ведут к появлению абсорптивных частей. Последние
были рассмотрены в связи с дисперсионной теорией1) в гл. 18. Ниже мы
покажем, как с самого начала можно избежать указанных трудностей путем
аналитического продолжения по внешним импульсам фейнмановской амплитуды в
область, где знаменатели не обращаются в нуль. После установления
сходимости интегралов в этой области можно аналитически продолжить
амплитуду обратно к физическим значениям инвариантов. При этом мы можем
быть уверены в том, что при таком продолжении интеграл существует почти
всюду, за исключением конечного числа особенностей Ландау.
Для аналитического продолжения амплитуды удобно использовать
представление (18.53) и выражения (18.35) и (18.37) для действия J
(18.44) в знаменателе (18.53). Согласно (18.34) - (18.36) фейнмановский
интеграл, отвечающий диаграмме с tn внешними импульсами qs и п
внутренними импульсами р/, имеет вид
>) В гл. 18 мы не рассматривали инфракрасные расходимости, которые, как
мы вскоре убедимся, могут быть устранены при помощи метода, изложенного в
этом разделе.
ОО
оо
324 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
где Р и Q - полиномы, в общем случае зависящие от внутренних и внешних
импульсов, а также матриц у и векторов поляризации. Кирхгофовские
импульсы kj линейно связаны с qs, причем коэффициенты линейного
преобразования зависят от ос, (см. (18.35) и (18.37)). Коэффициенты также
зависят от а (см. (18.35)).
Наша задача заключается в том, чтобы путем замены переменных в (19.53)
*,->*/, **-*-[,*о|" + \kjf]
перейти к евклидовой области, в которой все знаменатели отрицательно
определены и в которой потому не возникают указанные выше неприятные
сингулярности. Прежде всего заметим, что из линейных соотношений,
связывающих р,, kj и /, в (18.32), (18.33) и (18.37) следует, что любой
поворот внешних импульсов qs подразумевает такой же поворот импульсов kj
и 1Г. Заменим внешние импульсы
qo^qoeivt 0<ср<я/2, gs->g?.
Легко видеть, что в результате такой замены интеграл / остается конечным.
Действительно, кирхгофовские импульсы kj при этом заменяются на
а знаменатель в (19.53) приобретает вид
J = ? а, ('k* - т) + г'е) =
П
= 2 {[(?/)2 cos 2ф - Щ - trif] а/ + /[(&5)2sin2cp + е]а,}- (19.54)
Поскольку
1ш / > О
для всех а, ^ 0 в (19.53), / существует для всех 0 <
ф <
при условии, конечно, что интеграл регуляризован на верхнем
пределе. Положим теперь в (19.54) ф = я/2, тогда получаем для T(q qm)
Tin п \ - f d^l\ ... d*lk P (qs> If) /,q cn
l \Q 1) •••> Qm) \ /_2 24 (-2 24 ' (19.55)
J (Pi -mi) ... (p" - mn)
где Pll = (ip0y p), P1 = - (Po + P2) < О и интеграл вычисляется по
евклидовому четырехмерному пространству.
§ 145]
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
325
В выражении (18.55) знаменатели отрицательно определены, и потому это
выражение более удобно при анализе расходимостей. Если нам удастся
