Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
P
' преобразуется согласно
dXv дх* ------. .. V
дх" дХ' P-
о.
где Vp...''" являются функциями ТОЛЬКО ОТ Xі, ...,Jt* и, следовательно, однородными функциями нулевой степени
относительно Xt. Каждый коэфициент является функцией ot jc1.....Xі, умноженной на ех°, т. е. однородной
функцией первой степени относительно Xp. С другой CTO-
дхр
роны, каждый из коэфициентов — является однородной
дХ1
функцией (— 1 )-й степени относительно Xе. Д-ц и л и H д р и-ческий тензор однороден, и степень его однородности равна разности между количествами его контравариантных и ковариантных индексов. Глава XVIIl
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ КАЛУЗА *
Возможные обобщения теории Калуза. Несмотря на то, что теория Калуза не приводит к новым уравнениям поля и не дает ответа на нерешенные вопросы теоретической физики, все же представляется заманчивым произвести на ее основе некоторое изменение общей теории относительности. Вместе с тем, исходя из теории Калуза, можно несколькими способами подойти к созданию новой теории, в которой гравитационное и электромагнитное поля являлись бы частями единого поля.
Одна из попыток обобщения теории Калуза принадлежит Эйнштейну и Майеру1). Как и Калуза, они приняли, что физическое пространство является четырехмерным. При этом они ввели пятимерный тензорный анализ, не вводя в то же время пятимерного пространства и пятимерной системы координат. Они предположили, что существуют тензоры, индексы которых пробегают значения от 1 до 5, но компоненты которых являются функциями только четырех координат. Кроме четырехмерных преобразований координат, существуют еще преобразования „пятимерных тензоров" с матрицами преобразования и Л1|. При этом „пятимерные векторы", например, преобразуются согласно уравнениям
V*'=Mf V*,
Vfi=Ma\, МлpM/ = aT",
где — произвольные функции четырех координат. Если ввести пятимерную систему коордннат, матрица образо-
(18.1)
і) BerL Bei., 1931, стр. 541; Berl. Ber., 1932, стр. 130. вывелась бы из производных новых координат по старым
иг
и поэтому удовлетворяла бы дифференциальным тождествам
M1ttt - М\? = Af1p,, -it - MV tf = 0.
Однако ничего подобного не предполагается в теории Эйн-штейна-Майера. Поэтому количество дифференциальных ковариантов в ней не равно числу таковых в теории Калуза. Хотя здесь также вводятся величины у" и уа для перевода четырехмерных тензоров в пятимерные и наоборот, выражения
а а а Ь а Ь
Y».? — Y?.« = Y»,3Y? —Y?,*Y»
которые равны нулю в теории Калуза, в теории Эйнштей-на-Майера, вообще говоря, не равны нулю и даже не являются ковариантными. Выражения
Qt а
Y а,і YSj<»
ковариантные в теории Калуза, не инвариантны в этой теории. С другой стороны, в теории Эйнштейна-Майера существует ряд таких дифференциальных ковариантов, аналогии которых в теории Калуза тождественно равны нулю. Их количество даже столь велико, что не все из них могут получить физическую интерпретацию.
Возможно также обобщение теории Калуза путем ослабления условия А-цилиндричности. Это было сделано Эйнштейном и Бергманом, а позднее Эйнштейном, Баргма-ном и Бергманом в двух статьях, содержание которых будет вкратце изложено в этой главе').
!) A. Einstein and Р. Bergmann, Ann. of Math., 39, 683 (1938). A. Einstein, V. Batgmann and P. G. Bergmann. Theodore von Kaiman Anniversary Volume, Pasadena, 1941, стр. 212, Геометрия замкнутого пятимерного мира, В то время как проективные теории, в частности теория Эйнштейна-Майера, рассматривают пространство как четырехмерное, а пятое измерение вводят только как средство для построения нового типа тензорного анализа, теория, рассмотренная в указанных двух статьях, пытается придать пятому измерению более определенный физический смысл.
Физические соображения оправдывают создание такой теории. Не выходя за пределы четырехмерной теории поля, представляется невозможным даже принять во внимание результаты квантовой теории, в частности принцип неопределенности Гейзенберга. Так как описание пятимерного мира при помощи четырехмерного формализма является неполным, была надежда, что из неопределенности „четырехмерных" законов можно получить принцип неопределенности и что квантовые явления в конце концов смогут быть объяснены теорией поля. В настоящее время очевидно, что эти смелые надежды не оправдались. Вообще, вопрос о том, выдержит ли какой-либо пятимерный подход проверку времени, покажет будущее.
Во всяком случае, макроскопический мир четырехмерен, поэтому пятимерный мир должен быть, по крайней мере, приближенно цилиндрическим относительно пятого измерения. Из этих соображений Эйнштейн и его сотрудники предположили, что мир является замкнутым по отношению к пятой координате и представляет собой нечто вроде трубы.
Если вырезать из пятимерного континуума тонкий бесконечно протяженный слой и отождествить его две открытые (четырехмерные) поверхности, получится модель такого замкнутого пятимерного пространства. Все функции поля предполагаются, конечно, непрерывными при переходе через „шов", и поэтому, если трубка достаточно узка (т. е. если слой достаточно тонок), изменение величин поля поперек нее будет мало по сравнению с их изменениями вдоль трубки.
