Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
V\m=V,,rm (17.25) /»-производной от V по Xа. Если функция А-цилиндриче-ская, р-производная будет обычной производной от V по аргументу дга. (А-цилиндрическая функция может рассматриваться как функция только параметров х".) р-производные скаляра образуют р-вектор. Вообще говоря, р-производные не коммутируют. Их перестановочными соотношениями будут
ViOb-Viba=VttWait-HlJ. (17.26)
Если V А-цилиндрическая функция, ее р-производные, являющиеся обычными производными, должны коммутировать, т. е. правая часть уравнения (17.26) обращается в нуль. Поэтому выражение в скобках пропорционально Ap:
Ypoift-T Ua=AfQab- (17.27)
Qab можно найти, умножая уравнение (17.27) на Ap:
Qab = А?(Ґаі B-YliJ = U Apla-Wpll,^ Га f>K*==ba' Отсюда имеем:
Ya\b Yl\.a=AP?ba (>7-28)
и
ViA-Vita=VifAHfta. (17.26а)
р-производные от р-тензора, вообще говоря, не кова-риантны. Однако антисимметричные р-производные от р-вектора образуют р-тензор, а циклическая р-производная антисимметричного р-тензора второго ранга также является р-тензором.
Особенный интерес представляет собой р-тензор <prit 11 -J--(- \r~\~4tr\s- Этот тензор можно выразить через антисимметричные производные от Ap:
Vrs і г4" V« і г+ ? ir \ S = (Yfr YIap ,), т YI + + (Y°s Vt M, Ґ,+ (TG Гг\), ,Y's- В силу того, что циклическая производная Apa равна нулю, нужно оставить только следующие члены:
[Y;(YTm—її,,)+
+ Ts (її, / - Yr1 ,) + Y; (її ,, ¦- YF і s)l
Пользуясь (17.28), антисимметричные р-производные от Y1J можно исключить и окончательным результатом будет
frs If + I Г + ftr I S =
= Tr Vs YJ (BpAz, + BaApx + BzAap). (17.29)
Введем теперь понятие ковариантного дифференцирования р-т е н з о р о в. Если Vа является р-вектором, то легко показать, что дифференциальные выражения
v.,+IV
образуют смешанный тензор (р-вектор относительно а, вектор относительно р), если коэфициенты преобразуются согласно закону
Имеется 5X4X4 величин Чтобы их найти, нужно задать такое же количество связывающих их соотношений. Условия
TGjp = O (17.31)
слишком жестки, так как их больше, чем нужно, с другой стороны, условий
gab-. P = O (17.32)
слишком мало. Необходимые условия должны зависеть от трех индексов, одного координатного и двух параметрических. Условия
YXip = 0 (17.33) являются как раз условиями такого типа. Непосредственное вычисление показывает, что эти условия удовлетворяются, если Ybaf принимают значения
Можно также показать, что при таком выборе Г^, удовлетворяются и условия (17.32). Однако условия (17.31) не удовлетворяются, вместо них имеем
= = (17.35)
Ковариантную р-производную тензора или р-тензора по Xа определим, как ковариантную производную по умноженную на
— v. = (17.36)
и
симметричны в S и Ь. Известно также, что выражения gab, S равны нулю, если они образованы с помощью выражений (17.34). Отсюда следует, что имеют зна-
чения
Ц } = І Ssr {gar I »<+ gbr I a- gab | г)- (17.38)
Обратимся теперь к различным типам тензоров кривизны, которые можно образовать с помощью различных типов аффинной связности. Наиболее просто получить их, составляя различные перестановочные соотношения. В первую (17.41)
очередь естественно отметить перестановочное соотношение Римана
V"!..,-ICs „ = (17.39)
Для получения перестановочных соотношений для производных р-векторов понадобятся ковариантные производные от Y0:
¦ IZ
У" р = <М' (y° р- {4 } ff) = WX; р =
=-Atf Axi (17.40)
Отсюда получаем перестановочные соотношения: Vа, „ - Vn, „ = (Y»: „ - (YvnVvU —
— у" X.) = V^Yv^^r +
+ (ї".х — tfj») V\
Выражение y"„ — u может быть преобразовано следующим образом:
Yv; ix Yv; *1 (У® А і * Д»); ¦ (Y«^ ; i^v);*^r3 + Y.4 +
~f~ Ya (А ; * A4- t — А •, v4Vj „) =
— Y' ; * Ay7 • ^ ;1 ^v; * —
— Raf'А* А,],
так как здесь скобки второй строки обращаются в нуль. Подставляя это в (17.41), после небольших преобразований получим:
V1U-VU = SlllnV,
(17.42)
Rix" — Yv Y' + А,
j.-^.^ix). і
(17.43) „Смешанный" тензор кривизны Rn" также может быть
Ib I
выражен через < >:
Найдем далее перестановочные соотношения для ковариантных /»-производных (обычного) вектора:
V.«-Viiu = Ya WD;X-Yi(Y**V.»);. =
(17.45)
(17.46)
= YiYU^llX- Vlx,) +
Аналогичные вычисления дают перестановочные соотношения для р-производных /»-вектора:
V"; Ii - Vа; kt = (y" Ik — Y" «) ^ + +Y?(V:«-V:W) =
= YlY IiRJtV*+AJVVit) = = YlY* +x)V+ AwApV, „].J С другой стороны, эти же перестановочные соотношения можно выразить через
V". ,а -Vniki = RiklaVl + V, р
}„ЧЛ},.Ч"}{«'.}+{Л}{/'Ь і
Сравнение правых частей уравнений (17.47), (17.46) (17.43) дает соотношения, связывающие величины Riu. и
R.kin = Mt" + А\, Их, + А\ X AA; I — А*., А,. х).
(17.48)
(17.47) (17.49)
Особенно существенными для применения этого формализма к теории Калуза являются выражения, получающиеся в результате двойного свертывания этих уравнений;
ZnguRma- =
= 6J (у* _ дм* [RixC + A4ixAxi +
+ A4i ,Л:.-A4i ,Ах; х] =
