Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Эти условия трудно сформулировать инвариантным образом. Существуют, например, гравитационные волны, связанные с ускоренным движением точечной массы. Различие между ,спонтанными" волнами и ,гравитационным тормозным излучением" имеет простой физический смысл, однако его математическая формулировка не представляется возможной.
Чтобы избежать этих трудностей, Эйнштейн и его сотрудники вынуждены были получать законы движения с помощью приближенного метода, при котором математическая формулировка необходимых предположений значительно проще.
Их метод аппроксимации аналогичен обычному методу, описанному в главе XII, который в первом приближении приводит к ,линеаризации" уравнений поля. Однако он отличается от последнего одним важным обстоятельством. Предположение, что спонтанного излучения не происходит, эквивалентно предположению, что переменные поля меняются со временем не быстрее, чем этого требует движение особенности. Скорость последнего мала в сравнении со скоростью света. Поэтому предполагается, что дифференцирование по S4 (измеренному в релятивистских единицах) приводит к величинам высшего порядка.
Это предположение можно сформулировать несколько иным способом. Если снова ввести метрические единицы (т. е. если в качестве метрического тензора плоского пространства использовать Tjp5 вместо ерв), скорости материальных тел будут порядка единицы, а дифференцирование переменных поля по S4 не будет менять их порядка величины. С другой стороны, с~1 будет тогда рассматриваться, как малая величина, которая может служить параметром разложения переменных поля в степенные ряды (параметр X главы XII). Тензор g, например, примет вид gu= 1 + + C-4A44 + C-6A44 +....
12 3
Sis =
Sr, = - +'-iK,+с-Ч,'+¦ • - •
(15.1)
Член C-sA4j опускается, так как в противном случае gis
было бы порядка единицы, в связи с чем первое приближение стало бы нелинейным. Как и в главе XII, введем величины Yliv ПРИ помощи уравнений
Y^=V-TVrJpeV V = ^-V- (15-2)
Y также разложим в степенные ряды по с-ї:
744 = ^44 + ^44 + - ••>
Ym =
2 З
c_4Yrj + c_6Yrj + • ¦ ¦ •
2 3
(15.3)
Покоящиеся точечные массы представляются решениями уравнений поля, которые в первом приближении даются уравнениями (12.31а) и (12.34) или в метрических единицах выражениями
_ АгМ 744 — 1
I-=0'
Yr1 = O-
(15.4)
Поэтому предположим, ЧТО величины Yrs равны нулю. Для
2
получения в том же приближении поля точечной массы нужно произвести преобразование Лорентца; ^v преобразуется согласно закону:
= 05.5)
где YJ1 имеют те же значения, что и в главе V (уравнение (5.111)). Величины h^,
^M-V S^ Ijiv'
преобразуется по тому же закону, что и g^, так как закон преобразования линеен, и Tjfiv остаются неизменными.
По тому же закону преобразуются и у , что может быть проверено непосредственным вычислением. Применяя эти законы преобразования к уравнению (15.4), получим следующие выражения:
Y«=(Y44)3 Ї44.
її» — Y44YjYW ^ = YrW
(15.6)
Коэфициенты Y44 отличаются от единицы только малыми величинами— порядка с-2. Коэфициенты Y4j представляются выражениями
= = = (15.7)
и таким образом являются малыми величинами порядка с-2. Отсюда видно, что величины Yji, к которым приводит преобразование, того же порядка, а величины "frs — порядка с-4.
Величины Y« Для поля точечной массы исчезают, даже з
если эта масса движется.
В первом приближении естественно принять, что полное поле является просто суммой полей различных точечных масс. Разложение будем начинать, согласно сказанному, с члена, содержащего с~'.
Подставляя разложения (15.1) и (15.3) в уравнения поля и приравнивая коэфициенты при членах с одинаковыми степенями с~г, получим ряд систем уравнений. Метод Эйнштейна, Инфельда и Гофмана и заключается в получении и решении таких систем уравнений. Каждая последующая система уравнений содержит ряд величин у , ие вхо-
п
ливших в предыдущие системы, и, кроме того, ряд дру-гих Ypc' определенных ранее. „Новые" величины всегда
п
входят линейно, так что на каждой последующей стадии приближенного метода приходится решать только линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Определение движения особенностей производится следующим образом. На каждой стадии метода приближения нужно решить десять линейных неоднородных уравнений
относительно десяти величин у . Левые части этих урав-
п
нений, содержащие еще неизвестные величины, не независимы друг от друга, а удовлетворяют четырем дифференциальным тождествам. Если правые части (которые содержат уже определенные величины) не удовлетворяли бы тем же тождествам, дифференциальные уравнения были бы не совместимы друг с другом. Таким образом, каждая стадия приближенного метода налагает условия на предыдущую. В отсутствии особенностей эти условия ничего не дают, однако при наличии особенностей они являются как раз уравнениями движения,
Эйнштейн и его сотрудники при помощи этого метода довели вычисления до той стадии, на которой начинают сказываться релятивистские эффекты. Мы ограничимся приближением, приводящим к классическим уравнениям движения, так как на этой стадии уже можно видеть связь между уравнениями поля и уравнениями движения.
