Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Поле электрически заряженной точечной массы.
Перейдем теперь к рассмотрению электрически заряженных точечных масс. Электростатическое поле характеризуется скалярным потенциалом tp4, который является функцией г. Ковариантные компоненты электромагнитного поля равны
= <Р« = °- О3-26)
Компонентами электромагнитного тензора энергии-импульса будут
m^ =Щ - VP-] •
Mi3=O,
Mrs = I [^grMi' — <Рм<Р*4] =
Комбинируя уравнения (12.3), (12.30) и (13.5), получим.
* Мя -7") - (<р4> = 0'
- R + Tr № —v'>+ T * & - V')}e"v +
-|-х((рі)ае-(|1+,) = 0. Кроме того, имеем электромагнитное уравнение
(13.27)
(13.28) Это соотношение можно представить в виде
л+H-SH-
Для If4j получим
<PW=^grsH5 = — er<*+ ^r,
откуда
или
Xsls + + V) = о,
+ ¦j(|i' + v,)?; = 0. (13.29)
Первым интегралом этого последнего уравнения будет
г*е
-4- (і»+»)
Ip4 = -S,
(13.30)
где постоянная интегрирования є представляет собой заряд.
С помощью этого интеграла можно исключить <pt из уравнений поля (13.28). Тогда получим:
і V."(n' -V') + I11V-V)] +
+^=0.
(13.31)
Далее, комбинация первых двух уравнений приводит к уравнению (13.17). Введением переменной х согласно уравнению (13.18) первое уравнение (13.31) переводится в дифференциальное уравнение
dx , х — 1 і *s3 Л
SF + "7—H^r-0.
(13.32) решением которого будет
, 2хт , хе2
X = 1-----5- .
Г 1 г2
Метрический тензор имеет компоненты
(13.33)
Srs=-Ks
_ , _2хт і хе2
S44- 1 r >
^j = O.
+Л 2х/и і XE A ZrZr
V 1 7 <"75/
(13.34)
Уравнение (13.30) принимает вид
I - E
ь
"г2— 2/ЯХ/- + ХЕ2 '
(13.30а)
с решением
+FSarcctg [F5=SH- (13-35>
Решение с осевой симметрией. Вейлю и Леви-Чивита удалось найти статические решения, обладающие только осевой симметрией, но не сферической'). Если с самого начала предположить, что ,статичность" означает как независимость g от S4, так и обращение в нуль компонент gis, то можно показать, что метрический тензор с осевой симметрией может быть представлен в виде:
git = e\ g4s = °> Sts = 0'
gas = —'e^g3, = 0' grs = ^lt [-4, + (1- Є-) ЫJi
г,S= 1,2 (но не 3)" Xr = у I
P2 =Sia+S2',
СО
OO
1) Weyl, Annalen d. Physik, 54, 117 (1917):39, 185 (1919). Bach and W е у 1. Mathematische Zeitschrift, 13,142 (1921). Levi-Сі vita, Rend. Acc. dei Lincei1 Several Notes (1918—1919). где jl и v — функции двух переменных,
р=|/єі» + 6»я и г= s3.
Тензор Gliv имеет компоненты
«¦.—"{-(3 + 7*3) +
+i($+S)+i [(?)'+$)']}.
_ 1 ду ±17*Ла_ —2р(?р 4 LUpy \dz) J'
— 1 2р dz "1 2 dp dz (
^-{-м+ШМйШ«.+
+(?)'] И*«
Gis = О, G48 = O.
В чисто гравитационном поле имеем:
і — dp* * р др і Аг»~
dv <?ц <?ц Л *з = P ^TT.= 0.
Из этих четырех уравнений два являются тождествами, именно, свернутыми тождествами Бьянки с индексами 3 и s (s=l,2). Можно убедиться, что последнее уравнение (13.38) вытекает из трех предыдущих:
._ &Н I ^xS
(13.39)
Первые три уравнения в свою очередь связаны соотношением
Две функции {і н V должны обращаться в нуль на бесконечности. Далее, из уравнений (13.36) видно, что grf имеют особенность (т. е. неопределенны) на оси S8, если только (1—е-*) не обращается на ней в нуль, т. е. если V не равно нулю при р = 0.
Первое уравнение (13.38), (х, = 0), является линейным однородным уравнением только для р.; кроме того, оно является уравнением Лапласа в цилиндрических координатах для функций, обладающих осевой симметрией. Известно, что решения уравнения Лапласа, не считая решения р. = о, удовлетворяют граничным условиям на бесконечности только в том случае, если они имеют особенность в какой-либо точке, находящейся на конечном расстоянии от начала координат. Особенности вне оси S8 всегда представляют собой окружности, в то время как на оси Sa могут быть особенности точечного типа, вида 2ІРа~Мг — e^)2]-''' или я-е
производные по г от таких «полюсов".
Однако не все эти решения совместимы с дифференциальными уравнениями для v, *2 и 5V Если уравнение X1 = O удовлетворяется в некоторой односвязной области пространства р, г(р^О), то в силу (13.40) уравнения для xt и Xi имеют решения. Но при наличии особенностей пространство р, z уже не будет односвязным.
Рассмотрим сначала особенности вне оси S8. Если выбрать решение Ji уравнения x1 = 0 с произвольной окружностью особых точек, интеграл по замкнутому контуру,
(13.40) окружающему такую особенность в плоскости р, г,
(13.41)
вообще говоря, не будет обращаться в нуль. Однако если интеграл (13.41) не исчезает, функция v не будет однозначно определена вне особенности; иначе говоря, обращение в нуль интеграла (13.41) является необходимым условием существования решения.
Перейдем к рассмотрению особенностей на оси S3. Вне
особенности JJ равно нулю на оси S8, следовательно, если
предположить, что V обращается в нуль в некоторой точке на оси S8, оно будет равно нулю на всей оси S3, до особой точки. Сама особая точка должна быть такова, что должен обращаться в нуль интеграл от дифференциала
