Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА *
Закон инерции, инерциальные системы. Механика Галилея —¦ Ньютона была первой областью физики, ставшей наиболее развитой экспериментальной наукой. Прежде всего был установлен закон инерции: тела, не взаимодействующие с другими телами, продолжают оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Другими словами, движение таких тел является неускоренным.
Чтобы выразить закон инерции в математической форме, мы будем описывать положение тела его тремя координатами: X, у и г. Если тело не находится в состоянии покоя, его координаты являются функциями времени. Согласно закону инерции, когда на тело не действуют силы, вторые производные этих трех функций, т. е. ускорения, обращаются в нуль:
х=0, V=O, г = 0. (2.1)
(Мы пользуемся обычным обозначением je вместо ^j-J .
Первый интеграл уравнений (2.1) выражает постоянство трех компонент скорости:
о .о.о
X = Ux, у = Uy, Z=-Uz. (2.2)
Уравнения, выражающие закон инерцин, содержат координаты и относятся поэтому к определенной системе координат. Пока система координат не выбрана, закон инерции в том виде, как он сформулирован выше (см. курсив), еще ие имеет точного смысла. Для любого тела мы всегда можем ввести систему отсчета, в которой оно покоится и, следовательно, не ускорено. Правильная фор- мулировка такова: существует, система (или системы) координат, относительно которой все тела, не испытывающие действия сил, движутся неускоренно. Системы координат, обладающие такими свойствами, и соответствующие им системы отсчета называются инерциальными системами.
Конечно, не все системы отсчета являются инерциальными. Например, будем исходить из инерциальной системы координат S и произведем преобразование (1.2) к системе S*, вращающейся с постоянной угловой скоростью «о относительно S. Чтобы получить законы преобразования уравнений (2.1) и (2.2), продифференцируем уравнения преобразования (1.2) сначала один, а затем второй раз по времени /. Получающиеся уравнения содержат х, у, г, х*, у*, г* и их первые и вторые производные по времени.
Мы предположили, что система координат S инерциальна. Поэтому подставим вместо х, у и z и л:, у и z соответственно выражения (2.1) и (2.2). Таким образом, получаем для координат, отмеченных звездочкой и их производных,
о о
jf* = шу* их cos ю/ -f- иу sin со/,
о 0I
у* = — шг* иу cos at — их sin a>t, (2.3)
о
jf* = в)«** 2oiy*, у* z= со2}/* — 2шг*, z* = 0.
(2.4)
Оказывается, что в системе координат S* не все вторые производные по времени исчезают. Иногда бывает удобно перейти к системе отсчета, в которой появляющиеся ускорения обусловлены не действительным взаимодействием тел. Умноженные на массы, эти ускорения трактуются как реальные силы и большей частью носят название „сил инерции". Несмотря на это название, они не являются настоящими силами; они только формально входят в уравнения так же, как обычные силы. В нашем случае первые члены <02jc*, (0*_у*, умноженные на массу, называются „центробежными силами", а последние члены, также умноженные на массу, называются силами Кориолиса.
С другой стороны, существуют типы преобразований координат, оставляющие формы закона инерции (2.1) неизмененными. В качестве такого случая рассмотрим раньше всего преобразования типа (1.1), не связанные с переходом к новой системе отсчета. Дифференцированием (1.1) с подстановкой X, X и так далее из (2.1) и (2.2) получаем уравнения:
о D OO4
= СПах + СЛиу + Спиг = а'х>
0 0 0 0 У' = cIlttxjTWyjT cZBaZ = и'у> (2-5>
0 О 0 0
=<,31 UxjTcMttyjTcMttZ = W2'
и
X' = у' = г' — 0. (2.6)
Компоненты скорости, как и следовало ожидать, преобразуются, как компоненты вектора, а уравнения (2.1) воспроизводятся в новых координатах без изменения своего вида.
Другое преобразование, сохраняющее вид закона инерции, есть преобразование типа (1.3). Оно соответствует переходу от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно. Дифференцируя (1.3) два раза, получим:
je» = *, у* = у, z* = z, (2.7)
и, если движение тела в системе S подчиняется закону инерции (2.1), мы имеем также:
x* = 'j/* = г* = 0, (2.8) в то время как первые производите отмеченных звездочкой координат [если уравнения (2.2) относятся к неотмеченным, звездочкой координатам] равны:
х*=-и —V = и,
X X X7
о о
у* = Uy-Vy = U*,
О о
г* =Ut-V2 = Uz.
(2.9)
Уравнения (2.8) показывают, что закон инерции выполняется в новой системе так же, как и в старой. Уравнения (2.9) выражают тот факт, что скорость в новой координатной системе 5* равна разности скорости в старой системе и относительной скорости обеих систем. Этот закон часто называют (классическим) законом сложения скоростей.
Системы отсчета и системы координат, в которых справедлив закон (2.1), являются инерциальными системами. Все декартовы системы координат, покоящиеся относительно инерциальной системы координат, сами являются также инерциальными системами. Декартовы системы координат, связанные с системой отсчета, равномерно и прямолинейно движущейся относительно некоторой инерциальной системы, также являются инерциальными системами. С другой стороны, если мы перейдем к новой системе отсчета, ускоренно движущейся относительно первой, то преобразования координат в этой новой системе не приведут к уравнениям (2.1). Ускорение новой системы отсчета относительно инерциальной системы проявляется в появлении ускорения тел, не связанного с наличием реальных сил.
