Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ps = H №> »)«*.
(6.1) где и абсолютная величина скорости, a Ji функция от т и и, которая еще должна быть определена.
По тем же соображениям энергия должна быть также некоторой функцией от») и к. Эта функция связана с fi тем условием, что изменение энергии является произведением изменения импульса во времени на пройденный путь, т. е. скалярным произведением изменения импульса на скорость:
dE = dp-u = d (jjiu) -u ==d (|jt«a) — jjiu tfu =
Если функция jji известна, решая уравнение (6.2), можно определить функцию Е.
Нахождение выражения для импульса. Для определения функции ц рассмотрим в качестве примера такое упругое соударение двух частиц, при котором в одной из систем координат скорости частиц до и после столкновения одинаковы. В этом случае ц будет постоянной величиной. Законы сохранения полностью определяют направления скоростей после столкновения. Далее можно показать, что при переходе к другой системе координат нужно выбрать единственным образом, совместимым с законами сохранения в новой системе.
Пусть две равные точечные массы т приближаются к началу координат системы 5 с противоположных направлений и достигают его в момент ^ = 0. Их скорости соответственно имеют компоненты
= d (}лаа) — }ia du — ad (jia)
или
dE d , .
Tt=uJt^
(6.2)
и, = a = — и
1 2'
И,
У
(6.3) Уравнениями движения до столкновения будут:
X = at = — X,
і 3
у = M = —у>
і 2
Z = Z = 0.
1 2 *
(6.4)
Предположим, что после столкновения х-компоненты скоростей остаются неизменными, а ^-компоненты меняют знак. Таким образом скорости масс после столкновения будут равны:
Ur= —Ux = а, 1 2
U=-U-. Y -Г
—Ь,
и = и ¦= 0.
(6.5)
а уравнения движения
X= — X = at, 1 2
у=—у=—Ы, 1 2
1= г = 0. 1 2
(6.6)
Такое движение изображено на фиг. 7. Величина скоростей в результате столкновения не меняется, скорости обеих частиц остаются одинаковыми.
Несмотря на то, что до сих пор не делалось еще никаких предположений относительно функциональной зависимости Ji от т и от и, можно быть уверенным, что наш пример не противоречит релятивистским законам сохранения. Таким образом, поведение частиц в нашем примере описано правильно, независимо от тех изменений законов классической механики, которые вызываются условиями релятивистской инвариантности. В классической механике J* предполагается равным т (т. е. не зависит от а). Классические законы верны, по крайней мере приближенно, для малых (в сравнении с с) скоростей; поэтому ц при и—>0 должно принять значение т. Для получения зависимости ц от а рассмотрим
поведение наших частиц в новой системе S*. Система S* связана с исходной системой 5 уравнениями (4.13) или (4.15). Чтобы избежать ненужных усложнений, выберем относительную скорость V систем S* и S, равной постоянной а из равенств (6.3) и последующих.
Преобразуя уравнения (6.4) и (6.6), получим уравнения движения до столкновения
л
Фиг. 7. Столкновение двух частиц, имеющих одинаковые массы и скорости, и после столкновения
JC* = О, 1
2а
а3
' + T2
t*,
Г і
bt*
/^Г
_ і V с1
(6.6а)
bt*.
Скорости до столкновения будут • 2а
Ux = О, і
'+T2
а"'
С«
, и =
2
»+5
(6-7)
а после столкновения
hjf = O,
і
—*
И*=
2
2а
я2 '
>+72
V l+aW
U
2
(6.8) Используя выражения (6.7) и (6.8), можно составить уравнения для „импульсов", содержащие неизвестную функцию Обозначим „импульсы" отдельных частиц через р и р, а их сумму, „полный импульс", через р. До 1 2
столкновения имеем:
2 1+?
1 г*
р; =/>;+?;к «*> *
12 1 /»-J
(6.9)
,!(,Я, и) -^r O,
з после столкновения
—* _ , 2а
Px=O- ji(«, и ) 2
t*
g =—ji(m, U) t--+ ji(w, и*) J--
' /'-S ! '+S
(6.10)
Закон сохранения для р удовлетворяется, если и* рав-_ 2 _ но а*, в этом случае величина Ji (т, и*) равна Ji (т, и*). 2 _ 2 2
С другой стороны, если и равно и , то Ру отличается
і і
от ру только знаком. Отсюда следует, что закон сохранения для р* требует, чтобы р* обращалось в нуль. Таким образом, мы получаем функциональные уравнения для ц:
ц (т, и*) і
-7*
» + 7*
ц (/и, и*) = О,
- 3
а* =--1
2 1+2.
Переходя к пределу Ь—>0, получим более простое уравнение:
(6.11)
1 л
C2 \
(6.12)
Уже было отмечено, что р. (т, 0) равно /я. Для получения явного вида функции ц введем в качестве второго аргумента (і переменную а:
1 "г г2
_C2
1+7,
(6.13)
тогда уравнение (6.12) примет вид:
JJl (ЯІ, и):
т
V
17
(6.14), Другими словами, если вообще существуют лорентц-ковариантные законы сохранения, то встречающиеся в них векторные величины должны иметь вид:
ти*
аа
Ps = Ъ г-„¦ (6-15)
Это выражение называют „релятивистским" импульсом, чтобы отличать его от аналогичного классического вектора.
Релятивистская энергия одной точечной массы находится из (6.2):
dE d / um \ d / me2 \ ,сю
dt = u~J—---A = -J—/--V <6Л6)
а / um \_d_ / тс' \
