Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(5.126)
Четыре величины U* являются компонентами контравариант-ного единичного вектора
I^tW=I. (5.127)
Это легко проверить, подставляя в уравнение (5.126) dz согласно его определению
dx =Vrl^dW?.
Компоненты U* находятся в простой связи с компонентами скорости и1, фигурирующей в уравнениях (5.121), используя (5.125), получим-
1
VrTZi'
У с* (5.128)
и*=*=, d*
В следующих главах будем считать, что а1 и U* имеют тот же смысл, что и в настоящей главе. Vі будет использоваться исключительно для обозначения относительного движения двух систем координат.
При равномерном движении тела его направление в мире Минковского постоянно, и мировая линия является прямой. При таком описании закон инерции принимает особенно простую форму:
Uv-— const. (5.129)
Задачи
1. Доказать, что правая часть в (5.90а) преобразуется согласно (5.82).
2. Доказать инвариантность свойств симметрии относительно индексов, имеющих один и тот же трансформационный характер.
3. Определить в трехмерном римановом пространстве дифференциальные операции градиента (скаляра), дивергенции и ротора и доказать справедливость соотношения
rot grad V=O.
Рассматривая „аксиальные" векторы как антисимметричные тензоры второго ранга, определить также дивергенцию аксиального вектора и доказать соотношение div rot A = O,
где А — полярный вектор.
4. Доказать справедливость в трехмерном пространстве следующих соотношений:
ъшъ1кт=2a*; SiJimn=offi—
Найти аналогичные соотношения в мире Минковского. 5. Пользуясь соотношениями задачи 4, доказать справедливость в декартовой трехмерной геометрии следующего тождества:
rot rot A = grad div А — V2A,
где А может быть как полярным, так и аксиальным вектором.
6. Вычислить в трехмерном пространстве два тройных произведения полярных векторов:
7. Ввести на плоскости полярные координаты.
а) Найти компоненты метрического тензора.
б) Составить дифференциальные уравнения прямых линий.
8. На поверхности сферы радиуса R ввести так называемые однородные координаты Римана, которые характеризуются следующим выражением для бесконечно малого расстояния
а) Найти функцию /(S2+ Tj2) и уравнения преобразования, связывающие римановы координаты с обычными координатами долготы и широты.
Ответ,
б) Найти дифференциальные уравнения больших кругов в обеих системах координат.
Замечание. Координаты Римана получаются при известном из теории функций комплексного переменного конформном преобразовании плоскости в сферу.
[A X [В X С]], (А.[В X с]).
^=/(-2 + ^)(^2 + ^), где /(0)=1.
Г 9. Оператор Лапласа в обобщенных координатах в n-мерном пространстве определяется, как дивергенция градиента скаляра:
V *V=g"V.rs.
а) Преобразовать правую часть, используя
б) Ввести систему координат, координатные линии которой всюду взаимно ортогональны, другими словами, в которой элемент длины имеет вид:
<&>= 2 B1(A1)MW. « = ±1,
i=i
где ht являются функциями ?. Выразить лапласиан через Hi.
Ответ.
....А,.
Замечание. Это выражение часто используется для написания уравнения Шредингера в недекартовых координатах. Читатель легко может получить выражения для V2V в трех измерениях в сферических, цилиндрических и других координатах.
10. а) Показать справедливость следующего соотношения в я-мериом пространстве:
б) Показать, что, если Vі является вектором, a Fik— антисимметричным контравариантным тензором, то нижеследующие выражения представляют собой соответственно скаляр и вектор в) Выражение V4V в обобщенных координатах привести к форме, которая являлась бы обобщением соотношения, приведенного в ответе к задаче 9 (б).
И. Пусть V1 вектор, a Flk — антисимметричный тензор. Показать, что нижеследующие величины ведут себя как тензоры при произвольных преобразованиях, несмотря на то, что производные берутся не ковариантные, а обыкновенные:
к — Vk,i> Fik, і ~f" ^kh і ^tt, А-
12. Неравенство Шварца
2 №2 (Ьк)* ^ ilw
1=1 a=i i = i
означает, что в л-мерном эвклидовом пространстве любая сторона треугольника меньше суммы двух других. Это утверждение можно записать в виде
|а| + |Ь|>|а + Ь|.
Возведя в квадрат, получаем
a» + b» + 2|a||b|^a2 + b«4-2(a-b).
Приводя подобные члены и возводя еще раз в квадрат, получим неравенство Шварца.
Вводя подходящую декартову систему координат, доказать неравенство Шварца, показав тем самым, что приведенное выше утверждение относительно сторон треугольника справедливо в пространстве любого числа измерений.
Другой метод доказательства может основываться на использовании положительной нормы векторного произведения
Uk
13. В л-мерном эвклидовом пространстве можно ввести
1 т
т единичных взаимно ортогональных векторов (vit.. t, Vi); /Ж я; к I
vZvI = Ki' ft,/= і, • -•,/и; /=1,...,/1.
Показать, что для любого векторз справедливо неравенство Бесселя:
S {Л—ES
J = I O=I
Это неравенство переходит в равенство при /я = п.
14. Доказать, что векторное поле V1 в л-мерном пространстве может быть представлено, как поле градиента скалярной функции в том и только в том случае, если его ротор равен нулю: Глава Vl
