Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
dl = cNke = Nke -g^j- dado.
Выразив отсюда Nke через dl и разделив на dl вероятность процесса, получим его сечение
do^~;\(bik)ltefM\*do\ (59,29)
ПгС4
Аналогичным образом, если атом находится в поле фотонов ю\ к', то при падении па него фотона со, к происходит вынужденное комбинационное рассеяние, сечение которого пропорционально плотности числа фотонов со', к'.
Вычисление тензоров (с,Д2 или {bik)i2 для конкретных атомов требует вычисления сумм вида
(ВД.1 = L Е^м-го > <59>30>
п
причем Е принимает значения Ех±%со или Ех±%со'. Пусть, для Упрощения записи, речь идет об атоме водорода. Запишем сумму
*) Эта операция сводится к полному усреднению по направлениям е со-
гдасно = 6,^/3 и последующему умножению на 2-2-4я-4я.
• ) Время жизни уровня 2s,, , обусловленное двойным испусканием, cq-
-ставляет о,15 с
262
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
(59,30) в виде интеграла
(А1^)з1 = 5 ^2 (Г) (г, г')<*ж (r’)d3xd3x't (59,31)
где
G(r,r'- Е) = ^^~ё=Ж- ^59’32)
П
Подействуем на функцию G оператором Н — Е, где Н—гамильтониан атома. Поскольку /fipn = ?„ip„, то мы получим
(^-?)G = 2t„(r)i(r')'
П
Но стоящая здесь сумма есть, в силу полноты системы функций i|5„, 6-функция б (г--г'). Таким образом, функция G удовлетворяет уравнению
(H-E)G(r, г'; ?) = 8(г —г'), (59,33)
т. е. является функцией Грина уравнения Шредингера (правило обхода в (59,32) определяет, какое из решений этого уравнения
следует выбрать). Тем самым задача о вычислении суммы (59,30)
сводится к нахождению функции Грина атома. Точное решение уравнения (59,33) возможно, однако, лишь если известны точные решения однородного уравнения Шредингера, т. е. фактически — лишь для атома водорода*).
Задача
Вычислить вероятность упругого рассеяния электрона (нерелятивистского) на почти монохроматической стоячей световой волне (Я. Л. Капица, Р. А. М. Dirac, 1933).
Решение. Стоячую волну можно рассматривать как совокупность фотонов с импульсами к и —к (и одинаковыми поляризациями). Рассеяние же электрона—как поглощение фотона к и вынужденное испускание фотона/—к, в результате чего импульс р электрона получает приращение 2Й-к, поворачиваясь (без изменения величины) на угол 0: | р | sin (0/2) = /6со/с. Вероятность этого процесса можно получить из сечения томсоновского рассеяния (59,15)
do = rj\ е'*е |2 do' = r\do'
путем умножения на плотность потока фотонов с импульсом к и число фотонов с импульсом—к.
Плотность потока фотонов с частотами в интервале du> равна
cU и da
2/ко
где Uada—плотность энергии в стоячей волне в спектральном интервале da (множитель 1/2 учитывает, что энергия волны разделена поровну между фото-
1) См. Hostler L.— J. Math. Phys., 1954, v. 5, p. 591. Применение этой функции Грина к вычислению амплитуды рассеяния на атоме водорода—см. Грановский Я. И.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 605.
РАССЕЯНИЕ СВОБОДНО ОРИЕНТИРУЮЩИМИСЯ СИСТЕМАМИ
263
нами противоположных направлений). Импульсы к всех фотонов, образующих стоячую волну, параллельны определенному направлению п («направление» стоячей волны). Другими словами, плотность энергии как функция частоты и направления фотонов n': Uaa,= (n'—п). Соответственно этому число
фотонов—к равно
(ср. (44,8)). В результате получаем для вероятности рассеяния электрона (в 1 с)
Множитель со-4 вынесен за знак интеграла, поскольку степень немонохрома-тичности До предполагается малой. Величина интеграла обратно пропорциональна До (при заданной полной интенсивности).
§ 60. Рассеяние свободно ориентирующимися системами
Если уровень энергии атома не вырожден, то поляризуемость и интенсивность когерентного рассеяния определяются одним и тем же тензором == (с^ц. Если же уровень вырожден, то наблюдаемые значения указанных величин получаются усреднением по всем состояниям, относящимся к данному уровню. Поляризуемость должна быть определена как среднее значение
Наблюдаемая же интенсивность рассеяния определяется средними значениями произведений
Поэтому связь между поляризуемостью и рассеянием становится менее прямой.
Отметим, что хотя каждая из величин (c/ft)lj: может быть комплексной, их средние значения вещественны (предполагается, что поглощение отсутствует и а!к — эрмитов тензор). Действительно, при усреднении можно произвольным образом выбрать совокупность независимых волновых функций (отвечающих данному вырожденному уровню), а при этом можно всегда добиться того, чтобы все функции были вещественными.
Для свободных (не находящихся во внешнем поле) атомов или молекул вырождение уровней связано обычно со свободно ориентирующимся в пространстве моментом. Пусть начальное состояние при рассеянии имеет момент Jlt а конечное J2. Как обычно, сечение рассеяния должно быть усреднено по всем значениям проекции и просуммировано по значениям М2. После первого усреднения сечение перестает зависеть от М2, так что
(cifc)ll (plm) 11‘
264 РАССЕЯНИЕ СВЕТА 1Гл. VI
дальнейшее суммирование сводится к умножению на (2/2+1). Таким образом, усредненное сечение рассеяния
do = охо' ke'ierm do', (60,1)
где _____________
c\klm = 2jJ _j_ 1 ^ (Cik)il {Clm)z\ ~ (2^2 + 1) (cik)il (CJmbl > (60,2)
