Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем^ что в произвольной системе отсчета пространственная часть а ¦вектора а отнюдь не совпадает с вектором 2s. Легко видеть, что
2Г„ = JL (а „ 8 - а° I р I) = ? и, 2lj = JL ах = ? С,..
134 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
В общем случае частичной поляризации (? ф 0) ищем матрицу плотности в виде
р = 41~(УР + т)р' (ур + т), (29,11)
автоматически удовлетворяющем уравнениям (29,5). При ? = 0 вспомогательная матрица р' должна обращаться в единичную; поскольку
(ур + т)2 = 2т(ур + т),
то (29,11) совпадет с выражением (29,10). Далее, она должна содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра, т. е. иметь вид
р' = 1 — Ауъ (уа)\ (29,12)
во втором члене фигурирует скалярное произведение псевдовектора а и «матричного 4-псевдовектора» 75у. Для определения коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя:
р=т 0 + Vе) 0 + АуъуЪ) (1 + Я = f 0 + Я (1 + ^y5y?),
и вычислим, согласно (29,4), среднее значение спина. Воспользовавшись перечисленными в § 22 правилами, легко найдем, что единственный отличный от нуля член в искомом следе
2s = i sp (py‘v) = ~ 4 sp WvE) V) = АЪ-
Приравняв это выражение ?, получим А — \. Окончательное
выражение для р получим, подставив (29,12) в (29,11) и пере-
ставив множители р' и (ур-\-т)\ в силу ортогональности акр произведение ур актикоммутативно с уа:
(уа) (ур) = 2ар — (ур) (уа) = — (ур) (уа),
а потому коммутативно с 76(уа).
Таким образом, матрица плотности частично поляризованного электрона дается выражением
9^(yp + rn)[\~t(ya)} (29,13)
(L. Michel, A. S. Wightman, 1955). Если матрица р известна, то характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор ?) можно найти по формуле
alA = iSP(PW)- (29,14)
Формулы для матрицы плотности позитрона вполне аналогичны формулам для электрона. Если бы мы описывали1 позитрон (с 4-импульсом р) позитронной амплитудой ц^пэз> и определенной
ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
135
в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности р(п03), то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы, и матрица р(п03) давалась бы той же формулой (29,13). Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим в дальнейшем) не с «рП03\ а с амплитудами «отрицательной частоты» «_р. Соответственно этому и поляризационную матрицу плотности (обозначим ее через р(->) следует определить так, чтобы для чистого состояния она сводилась к u,-piti-pk.
Согласно (26,1) позитронная амплитуда u(p03) = Ucu-p. Обратно:
и-р = ?/ct?™3\ и.р = иЫр™ = Wp03>t/c (ср. (28,3)). Если
р‘*> = ртг = С’ХГ»,
то с помощью этих формул получим
p<-> = t/cp<"03>t/c. (29,15)
Подставляя сюда для р<п03> выражение (29,13) и производя (с помощью (26,3), (26,21)) простые преобразования, получим
Р(_) = у(ТР — т)[(1— ть(та)]- (29,16)
В частности, для неполяризованного состояния
Р (-> = у Сур —т). (29,17)
В дальнейшем, говоря о позигронных матрицах плотности, мы будем иметь в виду матрицы р(-> и индекс ( —) у них будем опускать (матрицами же р(п03) фактически не приходится пользоваться).
В различных вычислениях нам часто придется усреднять по спиновым состояниям выражения вида uFu (= utFikuk), где F — некоторая (четырехрядная) матрица, а и — биспинорная амплитуда состояния с определенным 4-импульсом р. Такое усреднение эквивалентно замене произведений иьщ матрицей плотности pki Частично поляризованного состояния.
В частности, полное усреднение по двум независимым спино-Имм состояниям эквивалентно переходу к неполяризованному ®®стоянию; при этом, согласно (29,10), имеем
-J- X upFup = YSP(VP + m)F.
поляр
(29,18)
136 ФЕРМИ0НЫ [Гл. III
Аналогичным образом для волновых функций отрицательной частоты
у 'Ed u-pFu-p^-jSpiyp—m)F. (29,19)
поляр
Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым состояниям — результат в два раза больше.
Проследим, каким образом матрица плотности (29,13) переходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представлении волновых функций амплитуды ир в этой системе становятся двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем
Р = у (Y°+1)(1 + Y6yS)> и с помощью выражений матриц у (21,20) и (22,18) находим
Р = (Р0Р 2)’ Р-Р = '”(1+О0 (29.20)
(нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять обычную в нерелятивистской теории нормировку матрицы плотности на 1 (Sp рнр = 1) вместо нормировки на 2т, то это выражение надо будет разделить на 2т, так что получится
у(1 +<*?)
в согласии с III (59,4—5).
Аналогичным образом н*р*лятивистский предел позитронной матрицы плотности:
р==(2 °р„р)’ Р-р — 'яО+об).
Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотности в ультрарелятивистском случае. Положив в (29,8) |р|»е (тем самым мы пренебрегаем величинами относительной малости (т/е)2), подставив эти выражения в (29,13) или (29,16) и выбрав направление р в качестве оси х, пишем:
P = y[e(Y°-Y1)±^] [1 — Y6 (^-(Y° — Y1) ?н —iiYi)] ,
где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний — к случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены в нем выпадают, а члены следующего порядка дают
