Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
—>- yBtydt lj)6 —> ус^
J) Напомним во избежание недоразумений, что здесь имеются в виду формы, составленные из г|з-функций. Для форм, составленных из антикоммутирующих 1|)-операторов, знак преобразования был бы обратным.
ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ
131
и пользуясь разложением
уАув = ? CRyRt Cr = i. SpyVv*
R
(см. задачу).
Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное
(28,11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему линейно независимых двухрядных матрицаА (Л = 1..........4) состав-
ляют
Вывести формулы, аналогичные (28,12), для скалярных произведений двух билинейных форм Р, У, А, Т.
Решение. Обозначим:
а теми же буквами со штрихом—такие же произведения с переставленными ф* и ф^. Указанным в тексте способом получим.
(первая строка—по формуле (28,12)).
§ 29. Поляризационная матрица плотности
Координатная зависимость волновой функции if, описывающей свободное движение с импульсом р (плоская волна), ^сводится к общему множителю е‘рг, а амплитуда ир играет роль
(28,13)
Sp оаов=8ав.
(28,14)
Условие полноты:
^ау^|36 ^ ~2 ~ ~2 “Ь ТГ
(28,15)
А
(а, (3, ... = 1, 2) или иначе:
1 3
” 2” ^а7^б$ “I” "2"
(28,16)
Задача
J§ = (фвф&) (ф^ф1*), Jр = (г(;а^5,|;{’) Сф'^ф'*)» /к=(фвуДфЬ) (\jj<7'V’fXTj5rf), jд = (ф°(уи'уг’ф6) (ф^'УцУ3'!’*). /г=(фв(СТД',ф6) (ф^(СТ^уф^),
4Js= Js~\~ Jт~\~ JаЛ~ Jp<
4Jy = 4/5—2 Jy -j- 2J a — 4Jp,
4Jj’ = 6J5 —2 Jf -|-6 J p,
AJ a — ^Js~\~^V —2/л — 4 J p,
4Jp= Js— Jy~\~ Jт— JA~\~ Jp
132
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
спиновой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица полностью поляризована (см.III, § 59). В нерелятивистской теории это означает, что спин частицы имеет определенное направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль которого проекция спина имеет определенное значение +1/2)-В релятивистской теории такая характеристика состояния в произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в § 23) несохранения вектора спина. Чистота состояния означает лишь, что спин имеет определенное направление в системе покоя частицы.
В состоянии частичной поляризации не существует определенной амплитуды, а лишь поляризационная матрица плотности k= l, 2, 3, 4— биспинорные индексы). Мы определим
эту матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась к произведениям
Pik = up{upk. (29,1)
Соответственно этому матрица р нормируется условием
Spp = 2m (29,2)
(ср. (23,4)).
В чистом состоянии среднее значение спина определяется величиной
* = Т § ^*lxPd3x = iuPIuP^Ti^py°lup- (29-3)
Соответствующее выражение для состояния частичной поляризации:
® = iSP(PY°2) = ^Sp(pY5Y)- (29,4)
Амплитуды ир, ир удовлетворяют системам алгебраических уравнений
(ур — т)ир = 0, йр(ур — т) = 0.
Поэтому матрица (29,1) удовлетворяет уравнениям
(ур — т) р = р {ур — т) = 0. (29,5)
Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния (ср. аналогичный вывод в III, § 14).
Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя, то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой теории состояние частичной поляризации полностью определяется тремя параметрами — компонентами вектора среднего значения спина s (см. III, § 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут определять поляризационное состояние и после любого преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы.
| 29] ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 133
Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в системе покоя посредством g (в чистом состоянии |?| = 1, в смешанном |5|<1). Для четырехмерного описания поляризационного состояния удобно ввести 4-вектор ам,) совпадающий в системе покоя с трехмерным вектором ?; поскольку g — аксиальный вектор, то а1* —4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в системе покоя (где а'х = (0, ?), p'i = (m, 0)), а потому и в произвольной системе отсчета
0^ = 0. (29,6)
В произвольной системе отсчета будет также и
= — (29,7)
Компоненты 4-вектора а11 в системе отсчета, в которой частица движется со скоростью v = p/e, находятся путем преобра-
зования Лоренца из системы покоя и равны
а° = -Мс„, ах = ?х, а„ (29,8)
где индексы || и _|_ означают компоненты векторов g и а, параллельные и перпендикулярные направлению р1). Эти формулы можно записать в векторном виде:
* т (e + m) е т nQ Q\
01 (’ >
a + т2 •
Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (? = 0). Матрица плотности в этом случае может содержать в качестве параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой матрицы, удовлетворяющей уравнениям (29,5), есть
P = y(YP + ™) (29,10)
{И. Е. Таим, 1930, Н. В. G. Casimir, 1933). Постоянный коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием (29,2).
*) По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора сПина s (как и всякого момента) являются в релятивистской механике пространственными компонентами антисимметричного тензора S^. 4-вектор а* Чрязан с этим тензором посредством
сАЦ 1 Ли vp „ „ jk 2 ы vp
& ^— 6 й,, рпу CL sss —- 6 *Ьц.> Ргк»
2т v р т M-v^p
