Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
112000 -2,73595364 110002 -3,40772282
120100 -2,63136014 101002 0
121000 -16,5677667 100102 -1,14285015
130000 -0,150633933 020002 -0,337515709
200200 2,49039403 011002 -1,73401731
201100 -15,7981069 010102 -18,3902492
202000 0 002002 1,63710322
210100 8,92716071 001102 -3,88366484
211000 -10,8033415 000202 1,39515361
220000 2,96865583 000040 0,991848859
300100 -0,925745462 000031 -0,395325819
301000 3,89169338 000022 0
310000 -1,61978834 000013 0,880384132
400000 0,272267629 000004 0
5.5. Общее решение нормализованной системы. Условнопериодические
движения. В переменных q*. р* функция Гамильтона с точностью до величин
четвертого порядка малости относительно | q* |, | Р* | и е запишется в
виде
Н* = Аг -(- Л2Р2 -I- А3р3 -f- С200 (д*^р*^)^ -Г С020Р2
+ СоогрГ + (Q*WP*W) Р* + "ш (Я*<1)РЩ')) Рз + ^хр|р|
(э.оУ)
(g*(i> = Y2р* sin <рj, р= V 2р* cos <р, (/ = 2, 3)).
§ 6] ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ КА 293
Общее решение соответствующей системы дифференциальных уравнений
определяется формулами
д-(1) = exp (pf, Р*( 1) = pl(1) exp (- ф*), (5.40)
g*(i) = У2p*0 sin ф*, p*0> = V2p*0 cos Ф* (/ = 2, 3), (5.41)
Ф* = COi (v - v0), Ф* = co2 (v - v0) + Фм, Ф* = Щ (v - v0) И- фзо,
(5'42)
(r)i = Aj -f- 2c20o (Яо^^Ро^) 4~ СцоРго 4" cioiPao,
co2 = Л2 -f- 2c02op2o 4~ сопРзо 4~ cno (Qo^Po^)i (5.43)
. , n * . "(!) *(l) . *
e>3 =¦ Лз -f- 2с0о2рзо 4" cioiQo Po i соиРго-Через v0 в (5.42) обозначено
значение истинной аномалии v в начальный момент времени t = t0. Величины
q*w, р*(1\ pfo'1^ Ф*0 (7 = 2, 3) играют роль произвольных постоянных
интегрирования.
Общее решение (5.40) - (5.42) вместе с формулами нормализующих
преобразований и координатных переходов позволяет для любого момента
времени получить приближенные значения координат и компонент вектора
скорости космического аппарата в абсолютной системе координат.
Движение космического аппарата в окрестности Ь2, в силу существования в
общем решении экспоненциально возрастающих функций времени, неустойчиво.
Но если начальные условия выбрать так, чтобы
gfw = р*и = 0, (5.44)
то, согласно (5.40), (5.41), движение космического аппарата вблизи L%
будет условно-периодическим (в рамках рассмотренного приближения). Если
же начальные условия таковы, что выполняется только одно из равенств
(5.44):
qtW = 0, (5.45)
то движение космического аппарата также будет происходить вблизи L2, а с
увеличением t оно будет асимптотически приближаться к условно-
периодическому движению.
§ 6. Оценка точности построенной теории движения КА
6.1. Общие замечания. Среди всего множества траекторий
движения КА в окрестности Ь2 наибольший практический интерес
представляют условно-периодические траектории. Наиболее существенным
достоинством предложенного в настоящей главе аналитического метода
расчета движения КА является возможность приближенного описания
многообразия таких траекторий.
294
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2
[ГЛ. 14
Но поскольку реализованная процедура аналитического метода расчета лишь
приближенно описывает движение КА, то тем самым и многообразие условно-
периодических траектррий определено также приближенно. В частности, в
точном решении задачи о движении КА, определяемом начальными данными,
соответствующими условно-периодическому движению приближенной задачи,
неизбежно будут присутствовать экспоненциально возрастающие функции
времени. Для оценки точности приближенного метода было проведено
сравнение с результатами численного интегрирования строгих уравнений
движения в декартовых координатах. Эти результаты рассматривались как
эталонные. Вообще говоря, достаточно точное вычисление координат КА в
окрестности неустойчивой особой точки с помощью численного интегрирования
также является некоторой проблемой, так как методические ошибки
аппроксимации и ошибки округления экспоненциально возрастают. Оценки
показали, что их суммарная погрешность на интервале 10 сут не превышает
примерно 10 м, что существенно меньше ошибок приближенного метода.
Поэтому для наших целей результаты численного интегрирования можно
принять за эталон.
Эталонные расчеты проводились в двух вариантах.
1*) Движение КА определяется решением точной системы уравнений
ограниченной задачи трех тел (Земля - Луна - КА). Движение Луны
эллиптическое.
2) Движение КА определяется решением точной системы уравнений
ограниченной задачи четырех тел (Земля - Луна - Солнце - КА).
Геоцентрические координаты и компоненты вектора скорости Луны гг (?), Vi
(t) определяются численным интегрированием уравнений задачи трех тел
(Земля - Луна - Солнце).
Первый из этих вариантов служит для выявления возможных грубых ошибок
алгоритма и оценки методических ошибок, связанных с учетом в приближенной
теории предыдущего параграфа членов лишь до конечного порядка малости.
Второй вариант оценивает степень пригодности построенной в предыдущем
параграфе теории в случае эллиптической задачи трех тел для описания
реального движения при наличии солнечных возмущений. В обоих вариантах
