Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
В P,v-приближении при конечном N невозможно удовлетворить точные граничные условия (2.68). Трудность состоит в том, что граничные условия относятся к половине интервала значений [А, в то время как коэффициенты разложения относятся ко всему диапазону изменен: я [А, т. е. —I ^ 1. Поэтому
не существует единственного способа формулирования граничных условий, которые бы описывали свободную поверхность в Рлг-приближении. Ниже излагаются два возможных подхода: один из них основывается на требовании обращения в нуль нечетных моментов потока по половине интервала |а, а другой эквивалентен замене вакуума вне пластины чисто поглощающей средой, из которой нейтроны не возвращаются.
В рамках нечетного Р^-приближения (N нечетное) для определения N +1 коэффициента разложения фп необходимо N + 1 граничное условие, по (N -f 1)/2 на каждой границе. Естественно потребовать, чтобы
I I
\ Pi M ф (0, ц) d[A = \ Pi{ — ц)ф(а,— n)dn = Of (2.71)
о о
і = 1, 3, 5,...,/V, N — нечетное.
Эти уравнения получили название граничных условий Маршака [36].Их можно получить также с помощью вариационного принципа [37]. Следует отметить, что при і = 1 граничные условия Маршака эквивалентны требованию обращения в нуль тока входящих нейтронов, встречающемуся в диффузионном приближении. При І = I P1 (|а) = (А и граничное условие есть
I I
^ [аФ (0, |а) dfx = ^ [аФ (й, — |A)d|A = 0. (2.72)
о о
В соответствии с полученными ранее результатами это означает, что ток входящих нейтронов при х = О и х = а обращается в нуль. Полный ток при х = О
і
Jx— IМ-Ф(°, И)dV-*
—і
76
конечно, не есть нуль. В Р^приближении граничное условие (2.71) позволяет получить длину экстраполяции, которая при (с — I) 1 имеет вид [38]
^ = -5-[1~Т(<:-1)+Т’~5'(с~|)г+ •••] <2-73>
(Маршак, Ргприближение)
Следует отметить, что полученная таким образом в Ргприближении длина экстраполяции определяет точку за пределами границы, в которой асимптотическое решение, будучи продолженным за границу с его естественной кривизной, обращается в нуль (рис. 2.6). Линейная длина экстраполяции диффузионного приближения отличается от длины экстраполяции в Р^приближении в том отношении, что она определяет то расстояние от границы, на котором поток обращается в нуль при его линейной экстраполяции за границу. Линейная длина экстраполяции есть ф (O)I \ф' (0)|, где •</>'(0) — производная потока по координате х при х=0. В рамках Р^прибли-жения уравнение (2.57) имеет вид
Ф (х, ц) = -І- [ ф о (х)+Зц ф г (X)]
4л
и с учетом (2.65)
Ф (х, ц) = j- [ ф о (х)—[і ф о (*)].
4я
Граничные условия Маршака (2.71) дают возможность определить линейную длину экстраполяции <?0(0)/| ф о (0)|, которая в этом случае оказывается равной 2/3 (в длинах свободного пробега), как и в обычном диффузионном приближении.
Еще одна возможность — это потребовать, чтобы Ф (0, |хг) = 0, і = 1,2,3,..., (N + 1)/2, N — нечетное, для конечного числа направлений по углу. Если в качестве этих направлений выбраны такие, для которых Pn+ і (Мч») = 0» получаются так называемые граничные условия Марка [39]. Их вывод представлен в разд. 5.2.3. Было показано [40], что условия Марка эквивалентны замене вакуума чисто поглощающей средой. В Ргприближении длина экстраполяции х0. полученная с помощью таких граничных условий, есть
**-іт[,-т<с-1)+т<е-1),+-] (2'74)
(Марк, /^-приближение)
Значения критических полутолщин в Рдгприближении с использованием граничных условий Марка представлены в табл. 2.6.
Было показано, что граничные условия Маршака несколько точнее, чем условия Марка [41], по крайней мере, для малых N. В частности, уравнение (2.73) лучше описывает точную длину экстраполяции, приведенную в разд. 2.5.2, чем уравнение (2.74). Преимущество условий Маршака связано, по-видимому, с тем, что они получены с помощью вариационного принципа [421. Однако обе формы граничных условий используются достаточно широко.
2.5.5. ПРИМЫКАЮЩИЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Задача о двух примыкающих полупространствах без источников внутри и с источником на бесконечности (рис. 2.7) решена точно [43]. Как и в случае границы с вакуумом, который может быть описан с помощью эквивалентного псевдоисточника в бесконечной среде, влияние одного
Рис. 2.6. Экстраполяция потока нейтронов на границе.
примыкающего полупространства на другое может быть рассмотрено с использованием такого же поверхностного псевдоисточника в бесконечной среде, помещенного на поверхности раздела. Этот псевдоисточник, естественно, вносит вклад в асимптотическую и переходную части решения уравнения переноса. При решении такой задачи одной из основных проблем является вывод связи на границе раздела асимптотических решений в двух полупространствах.
При решении односкоростных задач без источников в среде можно ограничиться рассмотрением только асимптотических решений в каждом полупространстве. Они могут быть сшиты на границе раздела с помощью упомянутых выше результатов.
Асимптотическое решение уравнения переноса можно записать в виде (2.22):
