Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
сопряженной к (2.4)^ может быть продолжен до непрерывного оператора
(2.8) [е (К) h] (со) = 2 § ^ (ю\«. ь'о)h (ULJ “'о)
“Г Woo : Ж® (coo) 0 Ж® (соо) Ж® (со„) 0 Ж® (со+), Ж® (со) = 0 Жх,
(00 (Oq / x?(j)
64
В. П. БЕЛАВКИН
S/ О» Ыо\
КI 0 I dm, на пополнение Ж предгильбертова пространства Г (Ж) относительно семейства полунорм || h — || л (f)*h ||, / (ЕЕ М. Отображение г: К м* г (К) определяет фоковское *-представление е (ХК* -)¦ >.*К) = )л (К)* + 1*г (К),
е (К^К) = е (К)*е (К), е (I®) = /®
разложимой Ь-алгебры операторов К относительно инволюции & (о>) = = К («*')*, где (ci)v)' — (соГ^), и ассоциативного произведения
(2.9) [ЛЬ./^]о)) =
^<v o+UT^a+^ /w;\o;, *oUv~A г(ш1\х~+' woV^
«M«;nv=u; Vw+V+> “euv W-K- "«LK7
индуцирующих инволюцию К+ (со°, v, со0) = (со0, v, со0)* и произведение
[А'+.А] (со°, и,со0) =
= 2 2 §(“°\ v°» v U и°> ro U ы) к (ы U v U ыо \ г1о) d(d
(D°
на ядрах К (со, v, ci)0), определяющих фактор-алгебру Ь-алгебры операторов К относительно нулевого b-идеала {К: г (К^К) ----- 0}. Сужение л = ?->у® Ь-представления е «а операторы К вида (2.6), определяемое действием (2.8):
(2.10) 1л (g) А:®] (со) -= ехр {J (I (х, g) + k* (х, g) к (х, g)) dx} (к (g) +
+ j (g) к)® (w),
ядер К (coJ. и, со0) = ехр {(gy)к® (со0, g) j® (со, g) к*® (со„, g) на к® (со) = = ® к (х), дает *-представление л: .М -> 3d (Ж), л (/ if k) — л (/)*Jt (h),
xEi)
л (e) = /®, V/, J, ассоциированное с безгранично-делимым состоянием ср: JI -> С в смысле <р (g) = (1^ | л (g) 12), где 1 3 = /с® для /с = 0.
Доказательство. Оператор (2.4) является псевдоизометрией:
(Ebh I Ebh) = J (ЕЩ* (co+, co°, со ) (ЕЩ (со", со0, co+) dco~dco°dco+ =
= j 10 (co+) h* (co°) iz, (co“) h (co°) dco'dco°dco+ = j h* (co°)fe (co°) dco° = (/i | h),
следовательно, эрмитово сопряженный оператор (2.7), определяемый из ус. ловия (Eh | h) = (h | E^h), Уh e= &, h e= .f,
(Eh | h) = J (?Л)* (со) h (со) dco = j /г* (co+, co°, со") i0 (co~) /г (co°) •
¦ d(ahd(a°d<a~,
является псевдопроекцией: EJh — h, V/iG f, где (УЛ) (co_, co0, co+) =
= 1,2 (co_) h (co0) 10 (со.,) есть каноническое вложение § d . Покажем теперь, что действие в & линейной комбинации операторов G® с треугольными G = IGvlv^Z,’J; t, Gy = 0, Уц < v, имеющими единичные матричные элементы G_ = 1 = С*, записывается в виде (2.5).
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
65
В самом деле,
(G®k®)(©) - (Gk)®(co) - П(2№)@(^') -
\1 V
= П S П (СЙ)® (со!;) п (ft*)® (W!J),
ц и<=/ v
V
где суммы формально берутся по всем разбиениям |_J (Oq Lj w+> a Ila
самом деле no <o*‘ -= [J м“ в силу того, что = 0 при v < ц. Если и’ —
v>H
= (и-, w , (о+) не пересекаются, то (ov = ((о_, (о0, (о+) также не пересекаются, поскольку Wv ? сом, и, следовательно, П М®!*) — Л ([_________j Дл« А (ы ) =¦
ц U
— П(*v) ’ что дает
V
(G®k?) ((o') = 2 П (G5)® К) (П *v)® (U «*).
. (1, v v У1
где [_J(Ov ~ U 0)v» поскольку (Gv)® (w) =• 0 G* (х) равно нулю при (о —
и p=sv хеи
— o)v ф 0 для ц 3> V. Таким образом, мы получим формулу (2.5) на экспоненциальных векторах h —- к® с ядром К (со) = fj (Gv)®((Ov) вида (2.6).
В силу линейности этой формулы относительно ядра К, она справедлива также и для линейных комбинаций К =-= 2?,;G® по крайней мере на Г (К). Определим теперь оператор EKEb в ff, воспользовавшись формулой
J ^ l(w-> «V (о+) d(o = ^ ^ ^ h (ш_, (о0, w+) d(o_ do)0 diо+.
L
Учитывая вид (2.4), (2.7) операторов , Е, получим для h g= Г (Ж) {ЕКЕЬк®) (и) = J (КеЬЛ) (оГ, (о, 0)dw- =
= S S 2 К Н10 (<°:)h (“о Li wo) do)Z dwо d(d+ =
(OqL (0^. :~(i)
~ 2 ^ ^ (®+* "o, (Oo) A ((o0 j_j (o0) d(oj) >
li'fll_'(i)+—
что может быть записано в виде (2.8) в обозначениях v — <о0 и (о+ =
— О) \ V -= (О П V.
Докажем теперь, что псевдоусловное ожидание К —> ЕКЕ^ является «-представлением на Г (Ж). Для этого достаточно показать, что это отображение является гомоморфизмом относительно бинарной операции (2.9), инволюции К >-* и единицы К — 1® на порождающих элементах G®, для
66
В. П. БЕЛАВКИН
которых (2.8) дает (2.10) на h = к®:
[EG®Ebk®} (со) - 2 S S П (G11)® (со1’) к® (a* [J со0) dco„ d®; =
° M<v
ion! ь>+ =г=а
= 2 (“«) <G+)® К) S Ю dwo~ S (GD® ю dco; =
G'oL ю+=м
= (G^A; + G+)® (to) exp (Go к 4- G~) (x) dx) .
Используя эту формулу, получим, что l?I(??f,/c®] (ш) = к® (со), т. е. Е1®Е^ =
- /®,
[E<$*EVk 5] (со) - (Glk + Go*)® (©) exp g (G°*k + G?) (z) dx\ , т. e. EK^E'e - (EKE'-)* для К = S?.:Gf, Kb = 2j?,;G|/®, и [E (EG)® Ebk1 ] И - (FlGlk + (to) exp {J (/;C> + A^)J[z)dx) =
¦-= (F°0G°0k + FoG+ + Fl)® (со) exp {J (G;k + F~0G0k + G~ + F~0G+ + F~) (x) dx} =
= (Fnk + ^+)® N exp (Fok + F+) (x) di} (G°0k + G+)® (со) X
X exp {§ (Go A: -f G+) (x) dx} ,
где использовано правило умножения
(FG)v = Т /‘’y.G’v = S ж; == ад
Х>Ц X
треугольных матриц F = 1/\1, G = IGyl, ц, v с=Е { —, 0, +}, F^ = 0 = Gy* fA v, с элементами F_ = 1 = F\, G_ = 1 = G*. Таким образом, мы доказали, что е (F®G®) = е (F®) e(G®), где е (G®) h —- для любого h —
= ZX:kf ?Е! Г (^). Пополним Г (ЛГ) последовательностями /гп ?: Г (^), являющимися фундаментальными относительно любой из полунорм || h ||^ = = ||е (j® (j)\>)h\\,t<=M (в том числе и относительно || /г |Г = || Ц\). Поскольку я (ё) — е Ij® (#)1 является «-представлением Ж на Г (ЛГ):
